Matematik

Naturlig eksponetiel funktion

15. december 2022 af Sigurdsen - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg skal skrive en SRO, og vil i den forstand skrive om eksponentiel aftagende funktioner, da jeg har om radioaktiv henfald. Jeg ser dog, at man anvender den naturlige eksponentiel funktion, når man arbejder med radioaktivitet b.l.a i henfaldsloven og aktivitet. Jeg har dog ikke haft og differentialligninger og kan derfor ikke anvende det til at bevise eksponentielle vækst. Jeg vil derfor spørge jer om der er nogle af jer der kan hjælpe mig med at bevise:

En vilkårlig eksponentiel funktion a^t kan udtrykkes ved den naturlige eksponentielfunktion: a^t=e^k*t, hvor k=ln(a)

Jeg står nemlig her og mangler noget jeg kan tage med som forklaring på eksponentiel vækst, og tænkte at den naturlig eksponentiel funktion kunne være god, at fremhæve når man snakker om henfaldskonstant o.s.v

Nogen der kan hjælpe

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. december 2022 af SådanDa

Selve udsagnet:

"En vilkårlig eksponentiel funktion a^t kan udtrykkes ved den naturlige eksponentielfunktion: a^t=e^k*t, hvor k=ln(a)" er en simpel omskrivning. Man skal bruge at exponentialfunktionen og den naturlige logaritme er hinandens omvendte funktioner, så man har altså ln(e^x)=x og e^ln(x)=x.

Så betragt a^t, fra egenskaben ved vi at vi kan skrive a som: e^ln(a), så vi har:

a^t=(e^ln(a) )^t=e^ln(a)·t, hvor det sidste lighedstegn gælder ved den gængse eksponent regneregel: (x^y )^z= x^y·z.

Så hvis vi definerer k=ln(a) har vi det ønskede: a^t=e^k·t

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. december 2022 af ringstedLC

Omskrivningen handler ikke om diff.-ligninger, men kræver kendskab til logaritmer:

$\begin{align*} \ln(x) &= y \\ e^{\ln(x)} &= e^y=x\quad \textup{formel (85)} \\\\ e^{\ln(a)} &= a \\ \Bigl( e^{\ln(a)} \Bigr)^t &= a^t \\ e^{\ln(a)\,\cdot\, t}=e^{k\,\cdot\, t} &= a^t\;,\;k=\ln(a) \end{align*}$

Se nærmere på https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/funktioner/logaritmer, specielt afsnittet "Den naturlige logaritme og andre logaritmer".

Svar #3
16. december 2022 af Sigurdsen

Yes det giver ret god mening, men når jeg generelt skal snakke om den naturlige eksponentiel funktion er det så ikke hensigtsmæssigt, at snakke om den naturlig logaritme, da de er modsætninger.

Svar #4
16. december 2022 af Sigurdsen

Hej er der nogle af jer der kan hjælpe mig med at omskrive y=b*a^t til formen y=b*(1/2)^t/T1/2

Jeg vil nemlig gerne bruge denne omskrivning til at forklare om henfaldsloven, men jeg er ikke sikker på hvordan man omskriver den

Det er i forhold til eksponentielt aftagende funktion

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. december 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll}\textbf{\#4}\\&& y=b\cdot a^t\\\\&& \frac{1}{2}\cdot b=b\cdot a^{T_{\frac{1}{2}}}\\\\&& \frac{1}{2}=a^{T_{\frac{1}{2}}}\\\\\\&& a=\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}}\\\\\\&& y=b\cdot \left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}} \right )^t\\\\\\&& y=b\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}} \end{array}$

Svar #6
17. december 2022 af Sigurdsen

Er det muligt at få en forklaring på hvad du gøre.

Svar #7
17. december 2022 af Sigurdsen

Tager du den a'tte rod på begge sider, og hvor kommer 1 tallet fra

Svar #8
17. december 2022 af Sigurdsen

Hvilke formler bliver der brugt

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. december 2022 af ringstedLC

Der anvendes potensregneregler i #5:

$\begin{align*} y_1 &= 2\cdot y_2 \\ \frac{b\cdot a^{t_1}}{2} &= b\cdot a^{t_1+T_{\frac{1}{2}}} \\ \frac{a^{t_1}}{2} &= a^{t_1}\cdot a^{T_\frac{1}{2}} \\ \tfrac{1}{2} &= a^{T_\frac{1}{2}} \\ a &= \left (\tfrac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T_\frac{1}{2}}} \\ y &= b\cdot \left (\left (\tfrac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}} \right )^{\!t} =b\cdot \left (\tfrac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T_{\frac{1}{2}}}\,\cdot\, t}=b\cdot \left (\tfrac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. december 2022 af ringstedLC

#7:

$\begin{align*} r &= a^s\Leftrightarrow a=r^{-s}=r^{\frac{1}{s}} \end{align*}$

Se i FS!

Svar #11
17. december 2022 af Sigurdsen

Men hvorfor ganger man b med 1/2 i den Venstre side af ligehedstegnet

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. december 2022 af ringstedLC

Fordi T_½er halveringskonstanten.

Brugbart svar (0)

Svar #13
20. december 2022 af mathon

Fordi y er halveret til tiden $\small T_{\frac{1}{2}}.$

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{Alment:}\\&f(x+n\cdot T_{\frac{1}{2}})=\left (\frac{1}{2} \right )^n\cdot f(x)\qquad n\in\mathbb{N} \end{array}$

Svar #14
20. december 2022 af Sigurdsen

Så fordi y er halveret til halveringstiden, så ganger man b med 1/2.

Er det fordi b er skæringen ved y-aksen

Brugbart svar (0)

Svar #15
20. december 2022 af mathon

Er det fordi b er skæringen ved y-aksen? Nej. $\small y=b\cdot a^{\, x}\; \textup{sk\ae rer ikke x-aksen.}$

$\small \begin{array}{llllll} \\&f(0+1\cdot T_{\frac{1}{2}})=\left (\frac{1}{2} \right )^1\cdot f(0)=\frac{1}{2}\cdot b \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #16
21. december 2022 af ringstedLC

#14: I både #5 og #9 nås der -, på lidt forskellige måder, frem til:

$\begin{align*} \tfrac{1}{2} &= a^{T_\frac{1}{2}} &&\Rightarrow a=\left (\tfrac{1}{2} \right )^{\frac{1}{T_\frac{1}{2}}} \\ &&&\Rightarrow y=b\cdot \left ( \tfrac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_\frac{1}{2}}} \\ &\textup{Henfaldsloven}&&\quad\, N=N_0\cdot \left ( \tfrac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_\frac{1}{2}}} \end{align*}$

Det vil sige, at b (N₀) intet har med halveringskonstanten el. henfaldskonst. at gøre. Med andre ord; ligegyldigt hvor meget stof, der er til tiden t₁ fx t₁ = 0, det henfalder til den halve mængde i løbet af T_1/2 :

$\begin{align*} N &= N_0\cdot \left ( \tfrac{1}{2} \right )^{\frac{0}{T_\frac{1}{2}}} \\ N &= N_0\cdot \left ( \tfrac{1}{2} \right )^{0}=N_0 &&\Rightarrow N_\frac{1}{2}=N_0\cdot \left (\tfrac{1}{2} \right )^{\frac{T_\frac{1}{2}}{T_\frac{1}{2}}} \\ &&&\Rightarrow N_\frac{1}{2}=N_0\cdot \left (\tfrac{1}{2} \right )^{1} \\ &&&\Rightarrow N_\frac{1}{2}=\tfrac{1}{2}N_0 \end{align*}$

Skriv et svar til: Naturlig eksponetiel funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.