Matematik

Hjælp til spørgsmål

14. maj 2023 af madsdok - Niveau: A-niveau

Jeg har nogle spørgsmål, som jeg ikke forstår, er der nogle som vil prøve, at hjælpe mig med dem og løse dem.

spørgsmål 1:

Forklar hvordan man kan definere begreberne retningsvektor og normalvektor for en ret linje i planen. Redegør for hvordan en ret linje i planen kan beskrives ved en ligning og ved en parameterfremstilling. Kom i den forbindelse ind på linjens ligning på normalform.

spørgsmål 2:

Forklar hvad der menes med en stamfunktion til en given funktion. Redegør for hvordan det bestemte integral (Riemann integralet) defineres ud fra numeriske integraler og forklar, hvordan det bestemte integral kan udregnes

spørgsmål 3:

Forklar hvad der menes med en stamfunktion til en given funktion. Redegør for hvordan integralregning kan anvendes til bestemmelse af arealer omkring funktioners grafer. Du kan i den forbindelse også komme ind på bestemmelse af rumfang af omdrejningslegemer og længder af funktioners grafer.

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. maj 2023 af mathon

$\small \textbf{sp\o rgsm\aa l 1:}$

Enhver egentlig vektor $\small \overrightarrow{r}$ parallel med en ret linje $\small l$ er retningsvektor
for $\small l.$

Enhver egentlig vektor $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)=\widehat{\overrightarrow{r}}$ er en normalvektor til $\small l.$

Er $\small P_o(x_o,y_o)$ et fast punkt på $\small l$ og $\small P(x,y)$ et variabelt punkt på $\small \small l$ ,
gælder vektorligningen:

$\small \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_o}+t\cdot \overrightarrow{r}\qquad t\in\mathbb{R}$ som er en parameterfremstilling
af $\small l$ med parameter $\small t.$

Når - og kun når - to vektorer $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)$ og $\small \overrightarrow{P_oP}=\bigl(\begin{smallmatrix} x-x_o\\y-y_o \end{smallmatrix}\bigr)$ er ortogonale,
gælder vektorligningen:

$\small \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_oP}=0$
dvs
$\small \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-x_o\\y-y_o \end{pmatrix}=0$

$\small a\cdot x+b\cdot y+\left ( -a\cdot x_o-b\cdot y_o \right )=0$

$\small ax+b y+c=0$
som er en førstegradsligning
i x og y for $\small l.$

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. maj 2023 af mathon

Bruges specielt normalenhedsvektorerne

$\small \overrightarrow{n}_e=\pm\frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}$
fås
$\small l\textup{:}\quad \frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$

$\small l\textup{:}\quad -\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$

dvs $\small l$ på de to normalformer.

Svar #3
14. maj 2023 af madsdok

Tak for hjælpen med spørgsmål 1

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. maj 2023 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textbf{Stamfunktion:}\\\\& \textup{Lad }f\textup{ v\ae re en i et interval }I\textup{ kontinuert funktion og lad }a\textup{ v\ae re et vilk\aa rligt tal}\\&\textup{i }I. \textup{ Med }\varPhi \textup{ betegner vi den funktion, der for vilk\aa rligt }x \textup{ i }I\\&\textup{er bestemt ved:}\\\\& \varPhi(x)=\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t\\\\&\textup{Du kan vise, at }\varPhi\textup{ er en stamfunktion til }f.\\\\& \textup{For et vilk\aa pligt udgangspunkt }x_o \textup{ i }I\\&\textup{er}\\&\qquad \Delta \varPhi(h)= \varPhi(x_o+h)- \varPhi(x_o)=\int_{a}^{x_o+h}f(t)\mathrm{d}t-\int_{a}^{x_o}f(t)\mathrm{d}t=\int_{x_o}^{x_o+h}f(t)\mathrm{d}t=f(c)\cdot h,\\\\& \textup{hvor }c\textup{ ligger i intervallet mellem }x_o \textup{ og }x_o+h.\\\\&\textup{Deraf}\\\\&\qquad \left | \frac{1}{h}\Delta \varPhi(h)-f(x_o) \right |=\left | f(c)-f(x_o) \right |\\\\&\textup{Da }f\textup{ er kontinuert i }x_o, \textup{ kan du til ethvert }\epsilon>0\textup{ finde et }\delta,\textup{ s\aa } \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. maj 2023 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \\&\qquad \left | c-x_o \right |<\delta\quad \Rightarrow \quad \left | f(c)-f(x_o) \right |<\epsilon \\\\&\textup{og da}\\\\&\qquad\left | h \right |<\delta\quad \Rightarrow \quad \left | c-x_o \right | <\delta\\\\&\textup{har du}\\\\&\qquad0<\left | h \right |<\delta\quad \Rightarrow \quad \left | \frac{1}{h}\Delta \varPhi(h) -f(x_o)\right |<\epsilon.\\\\& \textup{Dermed har du vist, at}\\\\&\qquad \frac{1}{h}\Delta \varPhi(h)\rightarrow f(x_o)\quad \textup{for}\quad h\rightarrow 0.\\\\& \textup{D.v.s. at }\varPhi \textup{ er differentiabel i }x_o\textup{ med differentialkvotienten}\\\\&\qquad \varPhi{\, }'(x_o)=f(x_o).\\\\& \textup{Da }x_o \textup{ er vilk\aa rligt valgt i }I,\textup{ er }\varPhi \textup{ stamfunktion til }f.\\\\& \textup{Du f\aa r m\ae ngden af stamfunktioner ved at addere en arbitr\ae r konstant til }\varPhi. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. maj 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{Beregning af}\\ \textbf{bestemt integral:}\\\\&\textup{Idet }\varPhi\textup{ har samme betydning som ovenfor}\\&\textup{har du:}\\\\&\qquad \int_{p}^{q}f(t)\,\mathrm{d}t=\int_{a}^{q}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_{a}^{p}f(t)\,\mathrm{d}t=\varPhi(q)-\varPhi(p).\\\\\\&\textup{Hvis }F\textup{ er en vilk\aa rlig stamfunktion til }f\textup{ findes}\\&\textup{der en konstant }k,\textup{s\aa \ } F=\varPhi+k\\\\&\textup{Du har alts\aa :}\\\\&\qquad F(q)-F(p)=\left (\varPhi(q)+k \right )-\left (\varPhi(p)+k \right )=\varPhi(q)-\varPhi(p)=\\\\&\qquad\int_{p}^{q}f(t)\,\mathrm{d}t\\\\\\& \textup{D.v.s. }\textup{Integralet fra }p\textup{ til }q\textup{ af en kontinuert funktion }f\\& \textup{er lig med tilv\ae ksten over intervallet fra }p\textup{ til }q\textup{ af en}\\&\textup{vilk\aa rligt valgt stamfunktion til }f.\\\\\\& \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. maj 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{Hvis du for en given kontinuert funktion }f\textup{ kan \textbf{g\ae tte}}\\ \textup{en stamfunktion, kan du alts\aa \ let finde v\ae rdien af }\\\textup{det bestemte integral af }f\textup{ over et vilk\aa rligt interval.} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. maj 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} \textbf{Den korte definition }\\ \textbf{af en stamfunktion}\\&F\textup{ til den kontinuerte funktion }f\\& \textup{er, at der skal g\ae lde:}\\\\&\qquad F{\, }'(x)=f(x)\\&\textup{og}\\&\qquad F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x+k \end{array}$

Skriv et svar til: Hjælp til spørgsmål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.