Matematik

Spørgsmål om triangulering

02. august 2023 af terk0126 - Niveau: B-niveau

Hvordan kan det her gøres med kun 2 gange sinusrelationer og 1 gange cosinus relationer? Jeg har kunne gøre det ved at først bruge sinus relationer til at finde højre og venstre side af den nederste trekant og så sinus relationer til at finde de to sider på den øverste trekant og så ved hjælp af cosinus relationer finde CD men hvordan kan dette gøre ved at kun anvende sinus relationer 2 gange?

Vedhæftet fil: IMG_20230731_004342.jpg

Svar #1
02. august 2023 af terk0126

Bare lige for at det er klart så er det opgave 2 jeg er i gang med

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. august 2023 af oppenede

Ud fra højden kan du bestemme længden af 3 linjestykker via retvinklede trekanter:

som direkte giver |CD| = blå + rød.

Til at bestemme højden gælder 8.5 + rød = grøn, dvs.
8.5 + h/tan(180-B) = h/tan(A1)
hvor kun h er ubekendt

Vedhæftet fil:asd.png

Svar #3
02. august 2023 af terk0126

Men så er sinus og cosinus relationer ikke anvendt som opgaven spørger efter. Det er dog meget godt tænkt

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. august 2023 af oppenede

|CD| følger af cosinusrelationen:
|CD|^2 = |AC|^2 + |AD|^2 - 2|AC||AD|cos(A-A1)

Hvor |AD| og |AC| følger af sinusrelationerne:
|AD| = |AB| / sin(A+B1) * sin(B1)
|AC| = |AB| / sin(A+B) * sin(B)

Svar #5
02. august 2023 af terk0126

Mange tak for hjælpen, så kan jeg gøre ligsom de gør i bogen :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. august 2023 af ringstedLC

#4 Det må være:

$\begin{align*} |AC| &= \frac{|AB|}{\sin\bigl(A_{{\color{Red} 1}}+B\bigr)}\cdot \sin(B) \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. august 2023 af ringstedLC

#2: Der er to forskellige højder:

$\begin{align*} 8.5+|\textup{r\o d}| &= |\textup{gr\o n}| &\Rightarrow 8.5+\frac{h_C}{\tan\bigl(180^{\circ}\!-\!B\bigr)} &= \frac{h_C}{\tan\bigl(A_1\bigr)}\Rightarrow h_C=... \\ && 8.5+\frac{h_D}{\tan\bigl(180^{\circ}\!-\!A\bigr)} &= \frac{h_D}{\tan\bigl(B_1\bigr)} \Rightarrow h_D=...\\ &&|CD| &= \frac{h_D}{\tan\bigl(B_1\bigr)}+\frac{h_C}{\tan\bigl(180^{\circ}-B\bigr)} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. august 2023 af ringstedLC

#7 rettelse: $\begin{align*} 8.5+\frac{h_C}{\tan\bigl(180^{\circ}\!-\!B\bigr)} &= \frac{h_C}{\tan\bigl(A_1\bigr)}\Rightarrow h_C=... \\ 8.5+\frac{h_D}{\tan\bigl(180^{\circ}\!-\!A\bigr)} &= \frac{h_D}{\tan\bigl(B_1\bigr)} \Rightarrow h_D=... \\ {\color{Red} \textup{Afstand mellem h\o jder}} &= \frac{h_D}{\tan\bigl(B_1\bigr)}+\frac{h_C}{\tan\bigl(180^{\circ}-B\bigr)} \\ |CD|^2 &= \left (\frac{h_D}{\tan\bigl(B_1\bigr)}+\frac{h_C}{\tan\bigl(180^{\circ}-B\bigr)} \right )^2 +\bigl(h_D+h_C\bigr)^2 \end{align*}$

NB. Beregningen kontrolleres på GG med 10 decimaler.

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. august 2023 af M2023

#0. Man starter med at fylde vinkler på tegningen ved hjælp af reglen om vinkelsummen i en trekant...

Der gælder cosinusrelationen (idet vinkel CBD = 113° - 26° = 87°)...

$|CD|^2=|BC|^2+|BD|^2-2\cdot |BC|\cdot |BD|\cdot cos(87^o)$

|BC| findes ved sinusrealtionen...

$\frac{|BC|}{sin(29^o)}=\frac{8,5}{sin(38^o)}\Leftrightarrow |BC| =sin(29^o)\cdot \frac{8,5}{sin(38^o)} = 6,69$

|BD| findes ved sinusrealtionen...

$\frac{|BD|}{sin(124^o)}=\frac{8,5}{sin(30^o)}\Leftrightarrow |BC| =sin(124^o)\cdot \frac{8,5}{sin(30^o)} =14,1$

Dermed får man:

$|CD|^2=6,69^2+14,1^2-2\cdot 6,69\cdot 14,1\cdot cos(87^o)\Leftrightarrow$

$|CD|^2=233,7\Leftrightarrow$

$|CD|=\sqrt{233,7} =15,3$

Vedhæftet fil:Triangulering.png

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. august 2023 af mathon

Kaldes diagonalefrnes skæringspunkt for S,
haves:
$\small \begin{array}{llllll} & \frac{\left | AC \right |}{\sin(113\degree)}=\frac{8.5}{\sin(38\degree)}\\\\& \left | AC \right |=\frac{8.5}{\sin(38\degree)}\cdot \sin(113\degree)=&12.7088 \end{array}$

$\small \begin{array}{llr} & \frac{\left | AC \right |}{\sin(113\degree)}=\frac{8.5}{\sin(38\degree)}\\\\& \left | AC \right |=\frac{8.5}{\sin(38\degree)}\cdot \sin(113\degree)=&12.7088\\\\\\& \frac{\left | AS \right |}{\sin(26\degree)}=\frac{8.5}{\sin(29\degree+26\degree)}\\\\& \left | AS \right |=\frac{8.5}{\sin(29\degree+26\degree)}\cdot \sin(26\degree)=&4.5488\\\\\\& \left | SC \right |=\left | AC \right |-\left | AS \right |=12.7088-4.5488=&{\color{Red} 8.1500}\\\\\\\\& \frac{\left | BD \right |}{\sin(124\degree)}=\frac{8.5}{\sin(30\degree)}\\\\& \left | BD \right |=\frac{8.5}{\sin(30\degree)}\cdot \sin(124\degree)=&14.0936\\\\& \frac{\left | SB \right |}{\sin(29\degree)}=\frac{8.5}{\sin(29\degree+26\degree)}\\\\& \left | SB \right |=\frac{8.5}{\sin(29\degree+26\degree)}\cdot \sin(29\degree)=&5.0307\\\\\\& \left | SD \right |=\left | BD \right |-\left | SB \right |=14.0936-5.0307=&{\color{Red} 9.0630}\\\\\\\\& \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
03. august 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \left | CD \right |=\sqrt{ {\color{Red} 8.1500}^2+ {\color{Red} 9.0630}^2-2\cdot {\color{Red} 8.1500 }\cdot {\color{Red} 9.0630}\cdot \cos\left (180\degree-\left ( 29\degree+26\degree \right ) \right )}=&15.2739 \end{array}$

Skriv et svar til: Spørgsmål om triangulering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.