Differentiabel funktion

Hej,

Funktionen er ikke differentiabel i x = 2, idet grafen laver et knæk. Differentialkvotienten er defineret på den måde, at hvis vi vælger et punkt i nærheden af det punkt hvori vi ønsker at bestemme tangenten, så skal sekanten nærme sig et entydeligt tal i grænsestillingen. Ofte formuleres det i stil med, "hvis hældningen på sekanten har grænseværdien c (hvor c er et entydigt reelt tal) for x → x₀, så siges funktionen at være differentiabel i punktet". I dette tilfælde, vil sekanten nærme sig to forskellige tal, alt efter om vi vælger vores variable punkt til højre eller venstre for x = 2. Vi siger derfor, at grænseværdien c, som er et reelt tal, ikke eksisterer og at funktionen derfor ikke er differentiabel i punktet.

Når vi taler om at funktionen ikke er differentiabel i x = 2, kan den stadig godt (som i dette tilfælde) være differentiabel i andre punkter. Hvis vi derimod taler om, at en funktion er differentiabel, menes der ofte, at funktionen er differentiabel i alle punkter.

Alle differentiable funktioner er kontinuerte.

# 0
Her er et af de nemmeste eksempler at huske på, at den omvendte sætning, # 2, ikke nødvendigvis gælder.
Den grundlæggende  y = |x|   som er parallelforskudt med   giver   y = |x - 2| som på billedet.