Matematik

Skæringspunkter mellem den rette linie og cirkel, Matematik til Anvendelse i Fysik og Teknik, Sp. 1,2 og 3 (Poul Thomsen)

25. august kl. 13:22 af ca10 - Niveau: Universitet/Videregående

I det vedhæftede dokument ses opgave 11, spørgsmål 1, 2 og 3 og facit. Her ses også den rette linie og cirklen og deres skæringspunkter. Tegningen er desværre ikke så tydelig.

Opgave 11. Bestem, både ved grafisk afbildning og ved beregning, koordinaterne for skæringspunkterne mellem den rette linie og den cirkel der er givet ved ligningerne:

1. 3x - 4y = 0 og ( x - 3 )² + ( y - 4 )² = 25

2. x + y = 0 og ( x + 2 )² + ( y - 1 )² = 25

3. 12x - 5y = 160 og ( x + 2 )² + ( y + 3 )² = 25

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jeg ved at ligningen for en cirkel er:

( x - x₀ )² + ( y - y₀)² = r²

r = √ ( x - x₀ )² + ( y - y₀)² )

Jeg starter med nr 2 for den har jeg kunne løse.

Jeg isolerer x :

x + y = 6 ⇔ x = 6 - y

( x + 2 )² + ( y - 1 )² = 25 ⇔

x² + 4 x + 4 + y² - 2 y +1 = 25

Først udregnes (x + 2 )² + ( y - 1 )² = 25

( x + 2 )² = x² + 4x + 4

( y - 1 )² = y² - 2y + 1

derefter

x² + 4x + 4 + y² - 2y + 1 = 25, jeg indsætter x = 6 - y

(6 - y )² + 4 • ( 6 - y ) + 4 + y² - 2y + 1 = 25 ⇔

36 - 12y + y² + 24 - 4y + 4 + y² - 2y + 1 - 25 = 0 ⇔

2y² - 18 y + 36 + 24 + 4 + 1 - 25 = 0 ⇔

2y² - 18y + 65 - 25 = 0 ⇔

2y - 18y + 40 = 0

Bestemmer y.

d = (-18)² - 4 • 2 • 40 = 324 - 320 = 4 som indsættes :

- (-18) - √ (4 ) 18 - 2

y₁ = -------------------- = -------------- = 4

2 • 2 4

- ( -18 ) + √(4) 18 + 2

y₂ = ---------------------- = --------------------- = 5

2 • 2 4

Bestemmer x:

x = 6 - y₁ ⇔ x = 6 - 4 = 2

x = 6 - y₂ ⇔ x = 6 - 5 = 1

Så koordinaterne til skæringspunkterne mellem linien 3x - 4y = 0 og cirklen ( x - 3 )2 + ( y - 4 )2 = 25

er ( 1 , 5 ) og ( 2, 4)

Det samme som facitlisten.

3x - 4 y = 0 og ( x - 3 )² + ( y - 4 )² = 25

Jeg isolere først x:

3x - 4 y = 0 ⇔ x = (4 / 3)y

derefter

Først udregnes (x - 3)² + ( y - 4 )²

( x - 3 )² = x² - 6x + 9

( y - 4 )² = y² - 8y + 16

x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = 25 og jeg indsætter jeg indsætter x = (4/3y)

(4/3 • y)² + 6 • (4/3 • y) + 9 + 8y² + 16 - 25 =0

( 16 / 9 ) y² + ( 24 / 3 )y =0

16 24

----- y² + ---------- y = 0 , bestemmer fælles nævner

9 3

3 • 16 y 9 • 24 y

----------- + ------------- = 0

27 27

48 y + 216 y

------------------ = 0 , ganger med 27 på begge sider af lighedstegnet

264 y = 0 ⇔ y = ---------- = 0

264

Tallet 0 indsætter jeg i 3x - 4 y = 0

3x - 4 y = 0 ⇔ 3x - 4 • 0 ⇔ 3x = 0 ⇔ x = ------- = 0

Jeg indsætter tallet 0 i ( 4 / 3• y)² + 6 • ( 4 / 3 • y ) + 9 + 8y2 + 16 - 25 =0

( 4 / 3• 0 )²+ 6 • ( 4 / 3 • 0 ) + 9 + 8• 0 ² + 16 - 25 =0

0 + 0 + 9 +16 + 25 = 0 ⇔

0 = 0

Jeg indsætter y = 0 i 3x - 4 y og i x² - 6x + 9 + y²- 8y + 16 - 25 = 0

3x + 4 • 0 = x² - 6x + 9 - 0² - 8 • 0 +16 -25 = 0

3x = 6x = 0 ⇔ 6x - 3x = 0 ⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0 / 3 = 0

Så det ene koordinatsæt til skæringspunktet mellem den rette linie og cirklen er (0 , 0 )

Det samme som facitlisten.

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man det andet koordnatsæt til skæringspunktet mellem linien og cirklen for her er jeg gået i stå, det ville være rart med et tip til hvordan man bestemmer det andet koordinatsæt til skæringspunktet mellem den rette linie og cirklen ?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: OPGAVE 11. Spørgsmål 1 og 2.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
25. august kl. 14:10 af ringstedLC

1. Ved at sjuske får du lavet en 2. gradsligning om til en 1. gradsligning:

$\begin{align*} \tfrac{16}{9}y^2+\tfrac{4}{3}y\;{\color{Red}\neq}\;264y \end{}$

og får derfor kun én løsning som dog er en af de rigtige (se din figur).

Løs 2. gradsligningen korrekt og få to løsninger.

Svar #2
25. august kl. 16:53 af ca10

Tak for svaret

Til Svar # 1, ringstedLC

x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 25 og jeg indsætter jeg indsætter x = (4/3y)

(4/3 • y)²+ 6 • (4/3 • y) + 9 + 8y² + 16 - 25 =0 Jeg kan se at jeg har lavet i denne udregning

Så jer foretager en ny udregning:

Først udregnes (x - 3)² + ( y - 4 )²

( x - 3 ⁾² = x²- 6x + 9

( y - 4 )^2 = y² - 8y + 16

x²- 6x + 9 + y² - 8y + 16 - 25 = 0

x² - 6x + y² - 8y = 0

Jeg indsætter jeg indsætter x = (4/3y)

( 4 / 3 • y )² - 6 ( 4 / 3 • y ) + y² - 8y = 0

( 16 / 9 ) • y² - (24 / 3) • y + y² - 8y = 0

16 y² 24 y

------- - --------- + y² - 8y = 0 , Jeg laver fælles nævner

9 3

3 • 16 y² 9 • 24 y 27 y² 27 • 8 y

---------- - ------------- + -------------- - -------------- 0 , Jeg ganger igennem med tallet 27

27 27 27 27

48y² - 216 y + 27y² - 216y = 0 ⇔ , a = 75, b = -216, c = 0

75y² - 432 y = 0 , d = b² - 4 • a • c = (- 432)² - 4 • 75 • 0 = 186624

Forsøger at løse andengradsligningen

- ( - 432 ) - √ (186624) 432 - 432 0

y₁ = --------------------------------- = -------------------- = -------------- = 0

2 • 75 150 155

- ( - 432) + √ (186624) 432 + 432 864 144 19

y₂ = ----------------------------------- = ----------------- = -------------- = ---------------- = 5 ------- = 5 (19 /25)

2 • 75 150 150 25 25

Jeg indsætter y = 0 i linien: 3x - 4y = 0

3x - 4 • 0 = 0 ⇔

3x = 0 ⇔

x = 0 / 3 ⇔

x = 0

Det ene koordinatsæt til skæringspunktet mellem linien og cirklen er (0 , 0)

Jeg ind sætter y = 5 (19 /25) i linien 3x - 4y = 0:

3x - 4 • 5 (19 /25) = 0 ⇔

3x - 4 • 144 / 25 = 0 ⇔

3x - 576 / 25 = 0 ⇔

3x = 576 / 25 ⇔

576 576 576 192 17

x = ------------- = ------------- = ------------- = ---------- = 7 --------

25 25 • 3 75 25 25

--------

3 17 19

Det andet koordinatsæt til skæringspunktet mellem linien og cirklen er ( 7 ----- , 5 -------- )

25 25

Jeg håber at jeg har regnet rigtigt denne gang.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #3
25. august kl. 19:32 af mathon

Det har du.

Brugbart svar (1)

Svar #4
25. august kl. 19:34 af ringstedLC

Det ser rigtigt ud.

Det ene skæringspunkt (0,0) ses nemt, da afstanden fra centrum (3,4) til Orego netop er r = 5 og linjen ligeledes går igennem (0,0).

NB. Det er helt tilstrækkeligt at aflevere et resultat som en brøk istedet for at regne om til blandede tal.

Svar #5
25. august kl. 19:57 af ca10

Tak for svaret

Til Svar # 1 og svar # 4 ringstedLC

Jeg kan godt se nu at jeg havde sjusket, men når jeg er i gang med at løse en opgave og den skrives på PC kan jeg godt nogle gange overse det og man bliver nogle gange blind over for sin egen løsniing, og det er derfor jeg stiller spørgsmålet på Studieportalen,for her kan jeg få et tip og hjælp til svar på mine spørgsmål, det er jeg taknemmelig for.

Til Svar # 3 mathon, Tak for svaret.

Jeg er igang med at forsøge at løse opgave 11. nr.3

3. 12x - 5y = 160 og ( x + 2 )² + ( y + 3 )² = 25

Som jeg er kørt en smule fast i, men jeg bliver ved og jeg prøver at løse opgaven. Og hvis jeg ikke lykkedes at løse opgaven stiller jeg spørgsmål til opgaven og om at få et tip til at løse opgaven

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
25. august kl. 20:12 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textbf{3.}\\& 12x-5y=160\\\\& 5y=12x-160\\\\& y=\frac{12x-160}{5} \\\\\\& \left(x+2 \right )^2+\left(\frac{12x-160}{5}+3 \right )^2=25 \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
25. august kl. 20:41 af mathon

Her bliver diskriminanten negativ, hvorfor der ingen fællespunkter er.

Brugbart svar (1)

Svar #8
25. august kl. 20:41 af mathon

eller
$\begin{array}{llllllll} \textbf{3.}\\\\ &\textup{Beregning af centrums }\\& \textup{afstand fra linjen }l\\&&\quad C=(-2,-3)\\\\& \textup{dist}(l,C(-2,-3))=&\frac{|12\cdot (-2)-5\cdot (-3)-160|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=\frac{13^2}{13}=13>5=\textup{radius}\\\\ &\text{hvorfor cirklen og linjen }\\& \text{ingen f\ae lles punkter har.} \end{}$

Svar #9
25. august kl. 21:30 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #10
25. august kl. 22:11 af ringstedLC

Læs lige opgave 3. en gang til...

Svar #11
26. august kl. 06:12 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på opgave 3

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #12
26. august kl. 08:00 af mathon

$\begin{array}{llllllll}\textbf{Oversigt:}\\& \textup{I 11 \textbf{1.} er linjen \textbf{sekant} til cirklen} \\\\& \textup{I 11 \textbf{2.} er linjen \textbf{tangent} til cirklen}\\\\& \textup{I 11 \textbf{3.} er linjen \textbf{passant} til cirklen} \end{}$

Svar #13
26. august kl. 10:08 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Brugbart svar (1)

Svar #14
26. august kl. 11:40 af mathon

Min oversigt er baseret på:

1. 3x - 4y = 0 og ( x - 3 )² + ( y - 4 )² = 25

2. x + y = 6 og ( x + 2 )² + ( y - 1 )² = 25

3. 12x - 5y = 160 og ( x + 2 )² + ( y + 3 )² = 25

Svar #15
26. august kl. 14:10 af ca10

Tak for svaret

Svar #16
03. september kl. 14:31 af ca10

Til Svar #10 ringstedLc

Jeg læser 3. igen

Jeg isoler x:

12x -5y = 160

( x + 2 )² + ( y + 3 )² = 169 ⇔

x ² + 4x + 4 + y² + 6y + 9 - 169 =

x² + 4x + y² + 6y - 156 = 0

Jeg isolerer x i 12x -5y = 160 og indsættes i

12x - 5y = 160

5y 160

x = --------- + -------

12 12

Jeg indsætter denne i ( x + 2 )² + ( y + 3 )² = 169

5y 160

(-------- + -------- + 2 )² + ( y + 3 )²= 169 ⇔

12 12

5y 184

( -------- + -------- )² + ( y + 3 )² = 169 ⇔

12 12

25y² 920y 920y

--------- + --------- + --------- + y² + 6y + 9 - 169 = 0 ⇔ Jeg laver fællesnævner

144 144 144

25y² + 1840y + 144y² + 846y + 864 - 20736

------------------------------------------------------------------------ = 0 ⇔ Ganger igennem med 144

144

169y² + 2696y - 19440 = 0

d = 2996² - 4 • 169 • (-19440) = 22117456

Diskriminanten bliver positiv, så der er en fejl i min udregning, for som det ses af facitlisten er der kun en x-værdi, hvor x = 10. Da diskriminanten skulle blive d = 0.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert i min udregning, for jeg har gået min udregning igennem flere gange og jeg kan ikke finde fejlen?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #17
03. september kl. 15:04 af Anders521

#16 Der er en fejl nedenfor

Vedhæftet fil:bbb.png

Brugbart svar (1)

Svar #18
03. september kl. 15:17 af Anders521

#16 Du skriver bl.a

men den sidste linje bør være

$\frac{25}{144}y^2+ \frac{1.840}{144}y+ \frac{33.856}{144}+y^2+6y+9-169=0$

Svar #19
03. september kl. 15:46 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Svar #20
04. september kl. 10:08 af ca10

Til Svar #16 Anders521

Jeg regner opgaven i igennem igen.

25 y 184

(------- + --------- )² + ( y + 3 )² = 169

12 12

Jeg regner første venstre siden af med leddet i anden

25 y 184

(------- + --------- )² =

12 12

25 y2 920 y 920 y 184 184

--------- + -------- + --------- + ( ------- • ---------- ) =

144 144 144 12 12

25 y² 920 y 920 y 33856

--------- + -------- + ----------- ---------- =

144 144 144 144

25y² 1840y 33856

-------- + ---------- + --------------- Som jeg indsætter

144 144 144

25y² 1840y 33856

------- + ----------- + ------------- + y² + 6y + 9 = 169

144 144 144

25 y² 1840y 33856

-------- + ------------ + --------------- + y² + 6y + 9 - 169 = 0

144 144 144

25 y2 1840y 33856

------- + ------------ + ----------- + y² + 6y - 160 = 0 jeg laver fællesnævner

144 144 144

25 y2 1840y 33856 144y² 864y 23040

-------- + ---------- + ----------- + ------------- + ----------- - ---------------- = 0

144 144 144 144 144 144

ganger på¨begge sider af lighedstegnet med 144:

25 y² + 1840y + 33856 + 144y²+ 864y - 23040 = 0 ⇔

169y² + 2704y + 10816 = 0

Beregner diskriminanten:

d² = 2704² - 4 • 169 • 10816 = 0

Så der er en løsning a= 169, b = 10816 indsættes

- b - 10816 - 2704

y = ------ = ------------- = ------------------ = -8

2a 2 • 169 338

y = - 8 indsættes i:

12x - 5 • ( -8 ) = 160⇔

12x + 40 = 160 ⇔

12x = 160 - 40 ⇔₂

12x = 120 ⇔

x = 120 / 12 = 10

Som prøve indsætter jeg x = 10 og y = - 8 i ( x +2 )² + ( y + 3 )² = 169

(10 + 2 )² + (- 8 + 3 )² = 169

144 + 25 = 169

Skæringspunktet mellem den rette linje og cirklen der er givet ved ligningerne

12x - 5y = 160 og ( x +2 )² + ( y + 3 )² = 169

har koordinaterne ( 10, -8 ).

Tak for hjælpen

Skriv et svar til: Skæringspunkter mellem den rette linie og cirkel, Matematik til Anvendelse i Fysik og Teknik, Sp. 1,2 og 3 (Poul Thomsen)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.