Bevis for formlen for rumfanget af cylinder

Under forudsætning af, at det drejer sig om at dreje grafen for en ikke-negativ funktion f(x) på intervallet [a,b] omkring x-aksen, og man ønsker at beregne volumen af dette omdrejningslegeme, ser man på den infinitesimale cylinder ved x, med radius f(x) og tykkelse (højde) dx.
Cylinderskivens rumfang er π·f(x)2 dx , så det samlede volumen fås som

V = π·_a∫^b f(x)²dx

Det er jo ikke et bevis?

Skiftes variable fra rektangulære koordinater (x,y,z) til cylindrisk-polære koordinater (r,θ,z), fås

dx·dy·dz = r·dr·dθ·dz , og dermed

V = ∫∫∫_Cyl dxdydz = ₀∫^h ₀∫^R ₀∫^2π r·dr dθ dz = 2·π·h·(1/2)R² = π·h·R²

#2: Find en passende funktion, f(x), som beskriver den ene side i din cylinder og integrer efterfølgende op.

         indtegn et rektangel i 1.kvadrant med et hjørne i begyndelsespunktet
og
        den side, der ved en 360º 's drejning om x-aksen, bliver højde i cylinderen, liggende på x-aksen
        den tilstødende side, der ved drejningen bliver  radius i cylinderen, ligger dermed på y-aksen.
      

        Ligningen for den med x-aksen parallelle side
        er dermed
                                       f(x) = r

Omdrejningslegemets volumen
er
                                       V = π·₀∫^h r²dx = π·r²·₀∫^h dx = π·r²·(h-0) = h·π·r²
                 

Her er en lidt nemmere metode: En cylinder har et grundareal, der er en cirkelskive, og en højde. Rumfanget for sådan en tingest er arealet af grundflade*højde. Da arealet af en cirkelskive er π*r² bliver rumfanget π*r²*h

 hvad med at forstille sig en funktion f(x) = k , hvor k er radius af cylinderen. 

finder vi omdrejningslegemet af det med to grænser hvis forskel er h, må det være volumenet af cylinderen.

Hvorfor skal funktionen opløftes med 2? (Tjek den tykke skrift): V = π·_a∫^b (f(x)²) .

#8: "Sådan er formlen."

Det kan bevises, men er besværligt uden at kunne tegne.

#9 - Ok, np. Tak

#8

Der gælder her, at dV = π·f(x)² dx er rumfanget af en cylinder, hvis grundflade er en cirkel med radius f(x), og hvis højde er den infinitesimale størrelse dx. Det samlede rumgang fås så ved at summere alle disse infinitesimale rumfang fra x=a til x=b, dvs.

V = π·_a∫^b f(x)² dx