minimum

Ifølge den vedlagte opgavetekst skal man finde maksimum, ikke minimum, for volumenfunktionen.

Man skal erindre, at en kontinuert funktion på en kompakt (afsluttet og begrænset) mængde har et minimum og et maksimum, og at minimum eller maksimum sagtens kan antages på randen af definitionsmængden. Et ekstremum i et indre punkt antages i et stationært punkt; men man skal også undersøge funktionens egenskaber på definitionsmængdens rand.

I din betingelse for l og d vender ulighedstegnet den forkerte vej, for der skal jo gælde, at

l + (7/2)d ≤ 84

Dit udtryk for rumfanget af en cylinder er heller ikke korrekt. Man har her

V = π·r²·l = (π/4)·d²·l

Okay, ja der smutter tit lidt undervejs i skriveprocessen. Men jeg er nu ikke så interesseret i om, hvad opgaven siger eller ej. Jeg prøvede at finde minimum som en øvelse og opdagede, så at det at finde stationære punkter åbenbart ikke var nok til at få et fuldkomment resultat. Det er hvorfor dette er, som jeg er interesseret i.
Men udover dette: Egentlig bør man jo så også vise, at der ikke findes punkter i det indre (hvilket er ret oplagt, at der ikke gør) sådan, at de er større end det max du finder på randen... Eller ligger det i Lagranges metode, at det maximum, som man finder på randen også er et lokalt maximum for alle funktionsværdier i det indre? Jeg er ikke så godt inde i sætningen, da den aldrig blev bevist. Noget med at det krævede en sætning om differentiation af implicit givne funktioner, som vi desværre ikke får før differentialgeometri (hvis dette vælges)..

#2

Det er ikke på forhånd givet, at et maksimum antages på randen eller i det indre. Men for denne funktion V ligger alle de stationære punkter jo på randen af definitionsmængden.

Definitionsmængden begrænses af linierne d = 0, l = 0, og l +(7/2)d = 84. Det er klart, at V = 0 på de to førstnævnte linier, så tilbage er at undersøge V på linien l +(7/2)d = 84 .