minimum

Det havde måske været nemmere, hvis du havde fortsat i den anden tråd. Jeg forstår ikke, hvad dit problem er, ud over at du stadig sjusker med udtrykkene. Du fik rettet dit forkerte udtryk for V fra i går i din nye indledning, men ikke i resten af dine beregninger:

V = (π/4)·l·d² , der med l = 84 -(7/2)d) giver

V = (π/4)·d²·(84 - (7/2)d)

Heraf fås

dV/dd = (π/4)·(2d(84-(7/2)d) - (7/2)d²) , og dermed

dV/dd = 0 ⇒ d·(168 -21/2d) = 0 ⇒ d = 0 ∨ d = 336/21 = 16 , og dermed l = 84 -56 = 28

Da dit V er proportionalt med det rigtige V, finder du samme løsning på linien l = 84 - (7/2)d .

Når man sætter l = 84 - (7/2)d indskrænker man sig til at betragte funktionen på den linie, og man finder derfor ikke nogen løsninger, der relaterer til funktionen på andre linier, som d = 0 eller l = 0.

Du har selvfølgelig ret.. Sidste sætning fik mig til at indse, hvad jeg har gjort galt i min tankegang. Og så skal jeg vist nok lige rydde op i de udtryk :)

Men egentlig betyder det jo faktisk stadig, at lagrange og substitutionsmetoden fejler til denne ekstremumsundersøgelse. For det oprindelige krav er at l + 3,5d <84 (skal ikke være skarpt men kan ikke lave det anderledes)
Og det betyder, at også punkter, hvor l=0 og d<84/3,5 må være med...

#3

Ja, og derfor undersøger man både for stationære punkter i det indre og laver en særskilt analyse for punkter på randen af definitionsmængden. Et ekstremum antages enten i et indre stationært punkt, eller i et punkt på randen, når funktionen som her er kontinuert, og definitonsmængden er afsluttet og begrænset.

Jamen så er vi jo tilbage til diskussionen i går.. Undersøgelsen for stationære punkter konkluderer jo ikke noget om nogen minima... 

#5

Nej, ikke alene, og derfor undersøger man også funktionen på randen. Man får så et endeligt antal punkter, stationære punkter, samt randpunkter, (hvor funktionens begrænsning har et maksimum), og man kan så ved beregning og sammenligning afgøre, i hvilket af disse punkter funktionen antager sit maksimum.

Okay det kan være jeg er fuldstændig galt på den. Men min pointe er jo netop, at det IKKE er alle ekstremumspunkter vi finder for funktionen. Lad mig opridse:
Vi undersøger for stationære punkter i det indre: Vi finder INGEN kandidater.
Vi undersøger nu på randen. Men randen kan ikke undersøges ved blot at have en bibetingelse g(x) = 84. Fordi der vil stadig eksistere punkter f.eks. (l,d) = (0,42) som er minima, og som ligger på randen men som ikke kan indfanges ved niveaukurven g(x) = 84..
Se på den vedhæftede graf over funktionen:
Problemet er altså, at vi ikke får fanget hele randen for den oprindelige mængde, så vidt jeg kan se det.
 

#7

Og hvis du nu går tilbage til din anden tråd fra i går, vil du se, at jeg også kort betragtede de to andre randliniestykker, der jo trivielt kunne udelukkes, da V = 0 på disse to liniestykker. Derfor var det kun linien l = 84 - (7/2)d , der var af interesse for yderligere analyse.

ahh, men nu tror jeg vi snakker uden om hinanden. Jeg snakker ikke nødvendigvis om, at vi skal finde maximum (selvom jeg godt ved, at det er det opgaven siger). Jeg snakker om ekstremumsundersøgelse med Lagrangemetoden generelt. Og i denne opgave fejler den da uanset hvad til at finde alle minima, med mindre man selv, som du gør det, trivielt udelukker de to linjer på randen. 

#9

Hvis du forsøger at finde ekstremum for V under bibetingelsen l = 84 - (7/2)d , har du jo begrænset funktionen til den linie. Hvordan skulle den kunne finde punkter på de andre linier?

Ja okay det er selvfølgelig rigtigt. det er nok, fordi jeg er vant til pæne mængder med f.eks. en cirkel som rand, hvor man kan sammenfatte det hele i én undersøgelse uden at skulle udelukke noget først. Mange tak for hjælpen :)

ahh.. men der jo stadig en liiillle ting, der er underlig. Når man løser med elimination, får man ikke løsningen (l,d) = (0,84/3,5) med. Og dette punkt ligger jo på linjen. Hvad går der så galt her? 

#12

Hvad er der specielt med det punkt (hvordan det så skal dechiffreres -- brug ; som separator mellem koordinater, når der indgår decimaltal med komma)?

Altså, du mener punktet (l ; d) = (0 ; 24) ? Det er jo igen et randpunkt for problemet på linien og skal igen betragtes særskilt.

Jamen det er en del af linjen med ligningen 3,5d + l = 84. Men det fremgår ikke ved substitution, at det også er et minimum.

#14

Nej, for det er jo ikke et stationært punkt for bibetingelsesproblemet. Det er et randpunkt.

hmm kan du uddybe det? :)

Mener du at, det er på randen af bibetingelsen? Men det er (l,d)=(84,0)

#16

Som du ser i #1 har ligningen dV/dd = 0 på bibetingelseslinien l = 84 - (7/2)d løsningerne d = 0 og d = 16 . Punktet svarende til d = 24 er ikke et stationært punkt for V(d) . Det er et randpunkt, idet vi jo har sat begrænsningen 0 ≤ d ≤ 24 , så vi udelukker negative værdier af l (og negative værdier af d).

Punktet (l,d) = (84 ; 0) er også et randpunkt; men det er samtidig også et stationært punkt for bibetingelsesproblemet.