Cirkel

Hvis du issolere y får du:

y = sqrt(-(x²) + 4x + 21) - 3 (den øverste halvdel a cirklen)

eller

y = -sqrt(-(x2) + 4x + 21) - 3 (den nederste halvdel af cirklen)

Disse to funktioner danner tilsammen cirklen.

Punktet (-1 , -7) ligger på den nederstår cirkel-halvdel - og du kan finde tangeten i dette punkt ved at bruge tangentlinigen.

T = f '(-1) (x-(-1) + f (-1)

At finde skæringspunkterne med førsteaksen kan gøre ved at løse ligningen:

f (x) = 0

Som kun har løsninger hvis du benytter ligningen for den øverste cirkelhalvdel.

At finde arealet over 1-aksen kan dernæst gøres ved at tage integralet af de øverste cirkel-halvdel fra r₁ til r₂(de to rødder)

Håber det hjælper :)

Du kan også gøre brug af lidt vektorregning, - se vedhæftede

Cirklens skæringspunkter med x-aksen:

Indsæt y = 0 i cirklens ligning og løs den deraf fremkomne andengradsligning x² - 4x = 12
derved finder du x-koordinaterne for skæringspunkterne, - de tilhørende y-koordinater er jo 0

skulle gerne give punkterne s₁(-2,0) og s₂(6,0)

cirklens ligning
                                                (x-c)² + (y-d)² = r²

med tangentligningen
                                               (x_o-c)·(x-c) + (y_o-d)·(y-d) = r²       i punktet  P_o(x_o,y_o)

skæringspunkter
med x-aksen
                                                (x-c)² + (0-d)² = r²

                                                 (x-c)² = (r²- d²)

                                                 x = c ± √(r²- d²)
                                               

                når afstanden mellem skæringspunkterne er korden k

haves
                for centervinklen θ over korden          θ ∈ [0;π]

                                sin(θ/2) = (k/2)/r      
hvoraf
                               θ = 2·sin^-1(k/(2r))

                A_over = A_cirkel - A_under = π·r² - (1/2)r²·(θ-sin(θ))  =  (1/2)·[2π - θ + sin(θ)]·r²       θ ∈ [0;π]         

Tror desværre ikke rigtig jeg forstår den der med de skæringpunkter? :-/

Grafen skærer x-aksen, når y = 0 

x² - 4x + y² +6y = 12     (indsæt y = 0)
x² - 4x +0² +6·0 = 12    (reducér)
x² - 4x = 12
x² - 4x - 12 = 0

løs andengradsligningen
det skulle gerne give:

x = -2    ∨   x = 6

dermed har du skæringspunkterne (-2,0) og (6,0)

Arh, på den måde! :-)

Kan du også hjælpe mig med at finde arealet?

#5

                når afstanden mellem skæringspunkterne er korden k

haves
                for centervinklen θ over korden          θ ∈ [0;π]

                                sin(θ/2) = (8/2)/5     
hvoraf
                               θ = 2·sin^-1(4/5) = 1,85459

                A_over = A_cirkel - A_under = (1/2)·[2π - θ + sin(θ)]·r²   =  (1/2)·[2π - 1,85459 + sin(1,85459)]·5² ≈

                                                                                                                                                   67,36

Hvad betyder "θ"?

                     Hvad betyder "θ"?             centervinklen målt i radianer

Det har vi bare ikke lært endnu, så det vil se underligt ud, hvis jeg brugte det i en opgave :-).

       
                       ...så brug x i stedet for θ, da variabelbetegnelsen ikke har betydning for løsningen

Skal det hænge sammen?
"når afstanden mellem skæringspunkterne er korden k haves for centervinklen θ over korden"

Centrum er bestemt til: C(2,-3)
skæringspunkterne med x-aksen er bestemt til A(-2,0) og B(6,0)

du kan således bestemme to vektorer:

CA = (-4 3)
CB = (4 3)

brug disse to vektorer til at bestemme den centervinkel v, der udspænder den cirkelbue, der er over x-aksen

cos(v) = (CA·CB)/(|CA|·|CB|)     i "almindelige" grader (DEG)

Når du kender den vinkel, kan du bestemme arealet af det cirkelafsnit, der er over x-aksen vha.:

A = ½·r²·((v·π)/(180^o)-sin(v))

hvor r er radius og v er udsnitsvinklen

Det forstår jeg så tilgængæld godt! :-)

Men skal man prikke dem sammen deroppe for at finde vinklen, eller hvad gør man lige der? :-)

#4

cirklens ligning
                                               (x-2)² + (y+3)² = 5²

med tangentligningen
                                               (x_o-2)·(x-2) + (y_o+3)·(y+3) = 5²       i punktet  P(-1;-7)

                                               (-1-2)·(x-2) + (-7+3)·(y+3) = 25

                                               -3·(x-2) + (-4)·(y+3) = 25

                                               3·(x-2) + 4·(y+3) = -25

                                               3x - 6 + 4y + 12 = -25

                                               3x + 4y + 6 = -25

                                               3x + 4y = -31

                                               4y = -3x - 31

                                               y = -(3/4)x - (31/4)

Kan det godt passe, at graden blivet en minus grad? - får den nemlig til at blive -0,28.

Får den til at blive et minus areal :-/

#18

-0,28 er cosinus til vinklen mellem vektorerne :-)

du mangler lige at sige:

v = cos^-1(-0,28) ≈ 106,3^o