summen af rodmultipliciterne

Der gælder, at summen af rodmultipliciterne i det karakteristiske polynomium for en matrix A er større end eller lig summen af egenværdimultipliciteterne. Jeg forstår ikke helt beviset for denne sætning. 
Det beror på, at A i basen af egenvektorer, eller den mindste basis, der kan laves af disse, repræsenteres ved en diagonalmatrix med egenværdierne for egenvektorerne i diagonalen. Er der ikke nok egenvektorer til at udspænde rummet vil man så selvfølgelig også få, at en del af matricen ikke udelukkende har tal i rækker svarende til diagonalindgangene..
Men videre opskrives så det karakteristiske polynomium ved hjælp af A udtrykt i basen af egenvektorer.  Og finder, så at en bestemt rod indgår mindst det antal gange, som er dimensionen af dens tilhørende egenrum. Dette er ret klart for mig. Hvad der ikke er klart er, hvorfor at det karakteristiske polynomium er det samme i basen af egenvektorer som i f.eks. den naturlige basis. Min formodning er, at det er fordi, at determinanten af A er den samme i hvilken som helst, som A repræsenteres i, men det står ikke eksplicit i sætningen, så jeg er ikke sikker. Og så er jeg heller ikke sikker på, at dette overhovedet gælder, men er det ikke netop det, man viser, når man finder determinanten af en endomorfi?