Rumfang

Har glemt at sætte x på, hvor funktionen i integranden skal ganges med x.

Det er måske simplere at dreje den inverse funktion omkring x-aksen

f^-1(x) = √(20x + 100) , så

V_x = π·₀∫¹⁵ (f^-1(x))² dx

     = π·₀∫¹⁵ (20x + 100) dx

     = π·[ 10x² + 100x ]¹⁵₀

     = π·(10·15² + 100·15)

     = π·(2250 + 1500)

     = 3750·π

#0 -- du har ret i, at rumfanget skal beregnes efter dit forslag, ikke vennens forslag.

#2

Det er rigtig smart det her... Tak.

Naturligvis får man samme resultat, hvis man drejer funktionen f(x) omkring y-aksen og tager forbehold for hele cylinderen:

V_y = π·(20²·15 - 2·₁₀∫²⁰ x·f(x) dx)

     = π·(20²·15 - 2·₁₀∫²⁰ x·(0,05x² -5) dx)

     = π·(20²·15 - 2·[ 0,05·x⁴/4 - 5x²/2 ]²⁰₁₀ )

     = π·(20²·15 - 2·(0,05·20⁴/4 - 5·20²/2 -0,05·10⁴/4 + 5·10²/2))

     = π·(6000 -10·400 + 2000 + 250 -500)

     = π·(4000 -250)

     = 3750·π

#4

Mange tak for din tid. Jeg tænkte også nok, at man får det samme resultat. Den simpleste metode til at udregne (i dette tilfælde) er at anvende den inverse funktion til at finde rumfang omkring x-aksen fra y-aksen. Det er noget nyt for mig.

Man kan dermed sige, at

2π_a∫^bx·f(x) dx = π_f(a)∫^f(b)(f^-1(x))² dx  ... ikk?

Jeg har ikke lært beviset til det, men har bare (nogenlunde) opfattet den måde siden du viste mig den nye metode (for mig) til denne udregning.

#5

Ved at dreje den vedlagte Figur 4 i alt 90º med uret, ser man, at skålens rumfang kan beregnes direkte ved at benytte udtrykket for V_x på den inverse funktion. Selv om den inverse funktion ved første øjekast ser mere ubehagelig ud end den originale funktion f(x), på grund af kvadratroden, forsvinder denne ubehagelighed, idet det er kvadratet på den inverse funktion, der integreres i V_x . Ydermere er den nedre grænse 0 her i udtrykket for V_x, så den samlede udregning er en del simplere end ved beregningen af V_y  i denne opgave.

#6

I dette specielle tilfælde gælder der nu

π· _f(a)∫^f(b) (f^-1(x))² dx = π·b²·f(b) - 2π· _a∫^b x·f(x) dx

#7 & #8

Helt perfekt! Min hjerne er ved at booste op! Tak! Glad for du hjalp mig ..

- Hvis det handler om enkelhed, kan det vel næppe gøres enklere end ved at følge den slagne vej:

 V = π*20^2*15 - 2*π* ₁₀∫²⁰ (x*f(x))dx = π*(6000 - 2*1125) = 3750*π

- eller hva'?

;-)

#10

.... hvilket jo netop blev gjort i #4, hvor alle mellemregningerne er medtaget. Det er klart, at det bliver enkelt, når man udelader de fleste af mellemregningerne.

# 11

- Korrekt - men det var ikke mit indtryk, at opgavestilleren fx. havde behov for hjælp til at integrere - så derfor fokuserede jeg mere på det egentlige spørgsmål - og kunne således udelade, hvad han selv havde skrevet . . .

;-) 

#12

Men netop mellemregningerne afslører vel, hvad der er den enkleste metode.

# 13

- Det kan man sige - forudsat de laves i hånden - hvilket nok sjældnere og sjældnere er tilfældet -

#10

Jeg synes faktisk, at det er dejligt at anvende de simpleste formler end at gøre det på en kompliceret måde. Så det med #8, kan jeg varmt anbefale det. Det, som du viste os mellemregner, er nemlig det samme som til højre side af lighedstegnet (#8). Til venstre side af lighedstegnet er jo simplere end til højre, efter min mening. Men tak ellers.

@Andersen11.

Jeg har lige fået at vide, at vennen havde ret ifølge matematiklæreren. Jeg forstår det bare ikke. Jeg har også sendt en besked til læreren om mit forslag med forklaringer på, så må jeg lige vente og ser, hvordan det går...

#15

Rumfanget af den cylinder, som skålen lige netop kan ligge i, er

V_cyl = π·20²·15 = 6000·π .

Det rumfang, som vennen beregner, er det rumfang, der ligger under skålen, når skålen lægges i sin cylinderformede æske. Jeg kan kun se, at det skal trækkes fra, som det er gjort i dit forslag, og beregnet ovenfor. Det er jo også helt i overensstemmelse med metoden, hvor man bytter om på x og y (#1).

Og Krabasken (#10) ser også ud til at være helt enig i resultatet.

Min konklusion er, at din lærer ikke har fattet det.

- Og jeg giver ubetinget Andersen11 ret i, at det er læreren, der er forkert på den i denne sag ;-)