Matematik

Differentialligning problem med forståelse

18. marts 2012 af WHiP (Slettet) - Niveau: A-niveau

Man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland. Der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode over 3 måneder. Det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning

dSt/dt=0,00575*St*(12-St)

Hvor St er længden (cm) til tiden t(døgn).
Det oplyses at til tiden t=0 er længden af en løgfrøhaltudse 0,5.
A) Bestem væksthastigheden for længden til det tidspunkt hvor længden af en løgfrøhaletudse er 4 cm.
B) Tegn en skitse af hvorledes væksthastigheden for længden afhænger af længden.

Jeg har løst A. Mit problem er at jeg ikke kan forstå hvad jeg bliver bedt om i B.

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. marts 2012 af mathon

selv om der i teksten ikke bedes om
beregning af
St(t)

kan det viskes dig i øret,
at
St(t) = 12/(1+2·e^-0,69^·t)

Svar #2
18. marts 2012 af WHiP (Slettet)

Men selv hvis jeg siger St'(t) så har jeg jo kun vist hvordan væksthastigheden afhænger af tiden.

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. marts 2012 af mathon

dStdt = 0,00575·S·(12 - S) S < 12

hvorfor
dS/dt >0 for ∀t dvs S(t) er konstant voksende

men med
d²S/dt² = 0,00575·(dS/dt)·(12 - 2S)

d²S/dt² = 0,00575·(0,00575·S·(12-S))·(12 - 2S)

d²S/dt² = 0,00575²·S·(12-S))·(12 - 2S)

maksimum for
dS/dt kræver
d²S/dt² = 0,00575²·S·(12-S))·(12 - 2S) = 0
dvs
12 - 2S = 0

6 - S = 0

S = 6

hvorfor S(t) har størst tangenthældning dS/dt for S = 6

endvidere
dSt/dt --> 0 for S -->12^-

dvs
vandret asymptote
y = 12

Skriv et svar til: Differentialligning problem med forståelse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.