Diff af cos og sin

Beviset foregår ved at gå igennem de forskellige trin i øvelserne, hvilket du så skal gøre.

I øvelse 9 menes der nok <CBO, ikke <BOC.

Det er jeg godt klar over, men jeg ved ikke hvordan man beviser 1. og 2. trin, de andre tror jeg godt jeg kan finde ud af. Kan du hjælpe med de 2? 

9) følger af ensliggende vinkler ved parallelle linier.

10) I trekant OAB har man

h + u+v + 90º-v +x = 180º , dvs

x + h = 90º -u

og benyttes, at trek. OAB er ligebenet, har man

2(u+v) + h = 180º , eller

u + v + h/2 = 90º , dvs

v + h/2 = 90º -u = x + h , hvorfor

v = x + h -h/2 = x + h/2

Mange tak for hjælpen. Hvad bruger jeg egentlig oplysningen i øvelse 9 til?

#4

Vinkel CBO indgår jo i betragtningerne i Øv. 10.

Hvorfor bliver h-h/2 til h/2? 

Har fundet ud af det, det var et dumt spørgsmål ... Mange tak for din tid! :)

#6

Fordi 1 - (1/2) = 1/2

Hvis du har tid, kan du så ikke også give mig et prej i den rigtige retning i nummer 11? 

#9

Se på den retvinklede røde trekant. Man ser at

cos(v) = |AC| / |AB|

Her er |AC| forskellen i y-koordinaterne for punkterne A og B, og |AB| = h .

men hvorfor bliver den så h/AB bagefter? er det fordi det er længdeforholdet mellem cirkelbuen og hypotenusen?

#11

Det er ikke korrekt, som jeg skrev i #10, at h = |AB|, da h er længden af cirkelbuen ^_∪AB, som du selv er inde på. Så

cos(v) = (sin(x+h) - sin(x)) / |AB|

og så forlænger man blot brøken med h, dvs. man ganger brøken med 1 = h/h .

hvorfor forlænger man den med h? og hvordan bliver det når man deler med h til (sin(x+h)-sin(x))/AB)*ab/h?

#13

Det gør det jo heller ikke.

Man forlænger med h, så man får en differenskvotient ind i billedet.

cos(v) = (sin(x+h) - sin(x)) / |AB| = [ (sin(x+h) - sin(x)) / |AB| ] · h / h

             = [ (sin(x+h) - sin(x)) / h ] · h / |AB|

               _{[differenskvotient for sin(x)]}

Jeg kan ikke få det til at give mening, at man gang med h/h?

#15

Man ganger med 1; det er der da ikke noget underligt i. Det kaldes at forlænge brøken med h; man ganger tæller og nævner med den samme faktor h.

Og så går de ikke ud med hinanden? og man kan bare splitte dem op så?

Der i øvelse 2 hvor man skal udlede selve differentialkvotienten, hvad skal man så bruge informantion om at v fra øvelse 10 til? skal man så sætte det ind som vinklen der ved cosinus eller hvad?

#17

Hvad mener du med, at de ikke går ud med hinanden? Der er tale om at man ganger med 1 = h/h , og så flytter man lidt rundt på faktorernes rækkefølge. Derved opnår man at få udtrykket for differenskvotienten for funktionen sin(x) ind i billedet, som antydet i #14.

Du hentyder sikkert til øvelse 12?

Hvis man antager (eller har vist andetsteds), at h/|AB| → 1 for h → 0 (hvilket jo er intuitivt klart), har man så

(sin(x+h) - sin(x)) / h = cos(v) = cos(x + h/2) → cos(x) for h → 0 ,

og dermed er det vist, at sin(x) er differentiabel i x med differentialkvotient cos(x) .

man behøves da ikke antage eller bevise at h/AB = 1, for når h går mod 0, så giver den vel automatisk 0? :)

#19

Der er tale om forholdet mellem to størrelser, der begge går mod 0. Det er ikke altid klart, om et sådant forhold har en grænseværdi, og hvad den i givet fald er. Eftersom øvelserne slet ikke nævner denne problemstilling, gik jeg ud fra, at det kan antages som kendt, eller at det er blevet bevist andetsteds.