Vigtigt

Hvordan har du defineret krydsproduktet af to vektorer?

forstår ikke hvad du mener desværre?

Man skal vide, hvordan dit pensum definerer krydsproduktet af to vektorer. Nogle tekster kunne for eksempel definere krydsproduktet ved det udtryk, som du skal vise.

Beskriv, hvad der er givet på det tidspunkt, hvor du skal vise dette udtryk.

Andersen 11 kan du huske krydsproduktet i hovedt?

#4

Ja da. Hver koordinat i krydsproduktet er en determinant, der involverer de to andre koordinat-indekser, og der gås cyklisk fremad. I en skematisk opstilling for at huske det kan man bruge

a × b = ( det(2,3) ; det(3,1) ; det(1,2) )

HVis du skulle bevise det, hvordan ville du gøre det. det er helt op til dig hvorledes du vil definere det

#6

Ofte definerer man krydsproduktet a × b som en vektor, der står vinkelret på både a og b, og hvis længde er lig med arealet af det af vektorerne a og b udspændte parallelogram.

Sætter vi a = (a₁,a₂,a₃) og b = (b₁,b₂,b₃) og a×b = (x,y,z) , skal der gælde

a₁·x + a₂·y + a₃·z = 0 ,

b₁·x + b₂·y + b₃·z = 0 ,

x² + y² + z² = |a|²|b|² - (a•b)²

                     = (a₁²+a₂²+a₃²)·(b₁²+b₂²+b₃²) - (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)²

                     = (a₂b₃-a₃b₂)² + (a₃b₁-a₁b₃)² + (a₁b₂-a₂b₁)²

(Fortsat fra #7)

Da ligningssystemet

a₁·x + a₂·y + a₃·z = 0 ,

b₁·x + b₂·y + b₃·z = 0

har den formelle løsning

x = z · (a₂b₃-a₃b₂) / (a₁b₂-a₂b₁) ,

y = z · (a₃b₁-a₁b₃) / (a₁b₂-a₂b₁) ,

har vi da ligningen

x² + y² + z² = z² · [ (a₂b₃-a₃b₂)² + (a₃b₁-a₁b₃)² + (a₁b₂-a₂b₁)² ] / (a₁b₂-a₂b₁)²

                     = (a₂b₃-a₃b₂)² + (a₃b₁-a₁b₃)² + (a₁b₂-a₂b₁)²

så vi får en mulig løsning ved at sætte

z = ± (a₁b₂-a₂b₁) ,

og dermed finder de mulige løsninger til

a×b = (x , y , z) = ± ( a₂b₃-a₃b₂ , a₃b₁-a₁b₃ , a₁b₂-a₂b₁ )

Vælger man fortegnet +, får man en løsning, hvor sættet (a , b , a×b) udgør et højrehåndssystem.