Normeret vektor rum.

Jeg har to opgaver som jeg har lavet, og jeg vil meget gerne høre om jeg har lavet det rigtigt, om der bør tilføjes mere, eller om det evt. er helt forkert.

1.

Svar: Det kan vises, at Σ^N_K=1c_kv_k=0, samt at dette kun gælder, når c_k=0. I følge definitionen på linær uafhængighed er vektorerne {v_k}^N_K=1linært uafhængige når c_k=0, 

∑^N_k=1c_kv_k=0 ⇒ || ∑^N_k=1c_kv_k ||² = 0. Dette medfører, at A∑^N_k=1 |c_k|²=0.

Dette gælder kun, når {c_k}^N_k=1=0, hvorfor alle vektorerne {v_k}^N_k=1 er lineært uafhængige. 

2. 

Delspørgsmål 1 er vist. (ved at vise, at V i sig selv er et vektorrum)

Delspørgsmål 2 svar: Højresiden i uligheden konvergerer mod 0 for N→∞, hvilket medfører at 

π²/3+4∑^N_n=1(-1)^N/n² cos(nx)→x² for N→∞. Dette viser, at en linear kombination af funktioner inde i V konvergerer mod en funktion udenfor V, hvilket medfører, at V ikke er lukket i C[-π;π]