Løsning af ligninger

Det ligger langt over 9.-klasses niveau at bestemme formlerne for rødderne i 3.- og 4.-gradspolynomier.

Formlerne for 3.-gradspolynomiets rødder kan findes her

http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function ,

og fremgangsmåden til at bestemme 4.-gradspolynomiets rødder er vist her

http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation .

En lommeregner kan finde talværdierne for rødderne.

Jeg vil gerne lære at regne uden programmerne.

Den med tredjegradsligning, der står adskillige formeler hvilke af dem er det. Og skal man ikke først beregne en form for diskriminaten for at være sikker hvor mange løsninger der er?

#2

Hvis du læser under linket http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation vil du se, at der er en størrelse

der spiller en rolle som diskriminant for 3.-gradsligningen. Det er her antaget, at ligningen er

ax³ + bx² + cx + d = 0

hvor a, b, c, d er reelle koefficienter.

Hvis Δ > 0 , har ligningen 3 forskellige reelle rødder. Hvis Δ = 0, har ligningen reelle rødder, men de er ikke alle forskellige. Hvis Δ < 0 , har ligningen en reel rod og to ikke-reelle, komplekse rødder, der er hinandens konjugerede.

Hvad vil relle rødder sige?

Dvs. at tredjegradsligning altid har tre løsning, for om diskriminanten er det  samme, mindre eller højere, er der tre løsninger.

#4

Reelle rødder vil sige rødder, der tilhører de reelle tals legeme. Hvis Δ < 0 , er to af rødderne ikke reelle; de er komplekse med en fra 0 forskellig imaginærdel.

En 3.-gradsligning har altid 3 rødder, men der kan dog være tale om sammenfald mellem to eller tre af dem (multiple rødder).

Tilsvarende har en 2.-gradsligning 2 rødder. Hvis dens diskriminant er lig med 0, falder de to rødder sammen, og hvis dens diskriminant er negativ, er der to komplekse rødder, der er hinandens komplekst konjugerede.