Tangenten til en cirkel

Hvis C er centrum for cirklen og P er et punkt på cirklen er vektoren  CP nornalvektor til tangenten i P

Hvis du antager, at cirklens centrum har koordinaterne C(x₁,y₁)
så kan vektor P₀C bruges som normalvektor til tangenten
i punktet P₀(x₀,y₀) og punktet P₀ som det kendte punkt.

Indsæt i linjens ligning:

a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0 

hvor a og b er koordinaterne til normalvektoren P₀C

Er godt med på hvordan man finder en tangent, men hvordan skal jeg gøre det uden nogen koordinater?

Det mere til mundtligt, jeg skal bruge det.

tak

En cirkel med centrum i C(a,b) og radius r har ligningen

                                     (x-a)² + (y-b)² = r² .

Hvis P(x₁,y₁) er et punkt på cirklen, vil vektoren CP være en normalvektor til tangenten i punktet P. Tangenten har derfor ligningen

                 (x - x₁)·(x₁ - a) + (y - y₁)·(y₁ - b) = 0

Giver ingen mening desværre, kan du forklare det på en anden måde

metoden i #4
alment gennemregnet
giver:

En cirkel med centrum i C(a,b) og radius r har ligningen

                                                                       (x - a)² + (y - b)² = r²

Tangenten i røringspunktet R(x_o,y_o)
er

                                                           (x_o - a) • (x - a)² + (y_o - b) • (y - b)² = r²


 

#6

Ligningen til sidst i #6 kan da ikke være korrekt som ligning for tangenten.

#5

Hvad forstår du ikke ved forklaringen i #4?

#7
 

Tangenten i røringspunktet R(x_o,y_o)
er
             (x_o - a) • (x - x_o) + (y_o - b) • (y - y_o) = 0

             (x_o - a) • (x - a - x_o + a) + (y_o - b) • (y - b - y_o + b) = 0

             (x_o - a) • ((x - a) - (x_o - a)) + (y_o - b) • ((y - b) - (y_o - b)) = 0

             (x_o - a)(x - a) - (x_o - a)² + (y_o - b) (y - b) + (y_o - b)² = 0

             (x_o - a)(x - a) + (y_o - b) (y - b) = (x_o - a)² + (y_o - b)²

             (x_o - a)(x - a) + (y_o - b) (y - b) = r²

hvorfor ligningen til sidst i #6 er korrekt som ligning for tangenten
og kan anbefales i anvendelse, når røringspunktet er kendt.

#9

Ligningen til sidst i #9 er korrekt, men den er jo ikke helt den samme ligning, som ses sidst i #6. Indvendingen i #7 gik på kvadraterne, der forekommer på venstre side i #6, og som sikkert er redigeringsfejl fra omredigeringen af cirklens ligning til tangentens ligning.