sammensat funktioner

Det er noget man umiddelbart kan se ud fra forskriften. Den indre funktion ligger jo som navnet antyder inde i den ydre funktion. Har man for eksempel

      f(x) = sin(√(x²+1)),

er funktionen f(x0 sammensat af tre funktioner:

      f(x) = sin(√(x²+1))
                 |   |      |
                 |   |     indre
                 |  mellem
              ydre

          g(x) = sin(x)
          h(x) = √x
          k(x) = x²+1

f(x) = g( h( k(x) ) ) = g _^o h _^o k(x)

ahh, okay! Hvad med e^xy? 

#2

Som en funktion af x er y en konstant. Man skriver også e^xy = exp(xy), og så er det måske lettere at se, at e^x er den ydre funktion og y·x den indre. Her kan man dog også betragte e^x som den indre funktion, da

e^xy = (e^x)^y

der er sammensant af e^x som den indre funktion og x^y som den ydre funktion.

Ved den første betragtning har man så

(e^xy)' = e^xy · (xy)' = y·e^xy .

Ved den anden betragtning har man

(e^xy)' = ((e^x)^y)' = y·(e^x)^y-1 · e^x = y·e^xy-x+x = y·e^xy .

Ved den anden betragtning, så kan jeg ikke rigtig se, hvordan y·(ex)^y-1 · e^x=  y·e^xy-x+x. Bliver det ganget med e^x til sidst, fordi man differentiere den ene, og den anden udifferentieret? Derudover, hvorfor bliver det -x? 

#4

Man differentierer f(g(x)) , hvor f(x) = x^y og g(x) = e^x .  Her er f '(x) = y·x^y-1 , og g'(x) = e^x . Så er

((e^x)^y)' = f '(g(x)) · g'(x) = y·(g(x))^y-1 · e^x = y·(e^x)^y-1 · e^x = y·e^x·(y-1)·e^x = y·e^xy-x+x = y·e^xy .

Det bliver -x fordi x·(y-1) = xy -x .