Matematik

Mindst mulige overflade af kassen

11. marts 2014 af Mrninja (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hejsa!

Jeg sidder fast i en opgave om en kasses overfladeareal. Opgaveformuleringen lyder således:

En kasse uden låg har kvadratisk bund. Rumfanget af kassen er 32. På figuren
betegner x sidelængden i den kvadratiske bund, og h betegner kassens højde.

Bestem h udtrykt ved x. Bestem den værdi af x, som gør kassens samlede overfladeareal
mindst muligt.

h udtrykt ved x har jeg bestemt til at være:

h+x^2=32

h+x^2-x^2=32-x^2

h=32-x^2

Herved bliver ligningen for kassens overflade:

x^2+4*x*(32-x^2) Har jeg ret?

Hvis ja, hvad så nu?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej, det er ikke korrekt.

Kassens rumfang er

V = h·x² = 32

så

h = 32 / x² .

Overfladearealet er (4 sider plus kvadratisk bund, intet låg):

A = x² + 4·h·x = x² + 4·x·32/x² = x² + 128/x

Find nu minimum for denne funktion A(x) .

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. marts 2014 af mathon

…hertil skal du bruge
A '(x) = 0

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. januar 2016 af snylt (Slettet)

Håber der er nogen, som kan hjælpe!

Jeg skal finde A'(x)=0 af funktionen, men, hvordan gør jeg det uden hjælpemidler?

x² +128/x = 0

Hvordan gør jeg nu?

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. januar 2016 af Soeffi

#3 A(x) = x² +128/x, x > 0
A'(x) = 2x - 128·x^-2= 0 => x³ - 64 = 0 => x = 4

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. januar 2016 af mathon

overført fra #5 i
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1656847

$A{\, }'(x)=\left (x^2+128\cdot \frac{1}{x} \right ){}'=2x+128\cdot \frac{-1}{x^2}=2x-\frac{128}{x^2}$

$A{\, }'(x)=2x-\frac{128}{x^2}=0\; \; \; \; \; \; x>0$

2x^3-128=0

x^3=64=4^3

x=4

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. januar 2016 af mathon

fortegn for
$f{\, }'(x)\! \! :$              -      0      +
            0__________4__________
monotoni                min
for $f(x)\! \! :$    ^{aftagende          voksende}

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. januar 2016 af snylt (Slettet)

#4, Soeffi kan du ikke via trin forklare, hvad du gør med ord?

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. januar 2016 af Soeffi

#4 A(x) er arealet af kassens overflade som funktion af x som er grundfladens sidelængde.

$A(x) = x^2 +\frac{128}{x}, hvor\; x > 0$

Når man differentierer A(x) med hensy til x laver man først omskrivningen:

$A(x) = x^2 +\frac{128}{x}=x^2 +128 \cdot x^{-1}$

Dernæst differentierer man udtrykket efter reglen for potensfunktioner: f(x) = xⁿ => f ' (x) = n·x^n-1 . Det giver:

$A(x) = x^2 +128 \cdot x^{-1}\Rightarrow A'(x)=2\cdot x+128\cdot (-1)\cdot x^{-2}=2x-128x^{-2}$ Dette sættes nu lig med 0 og løses med hensyn til x:

$2x-128x^{-2}=0\Rightarrow x^2\cdot (2x-128x^{-2})=x^2\cdot0\Rightarrow 2x^3-128=0\Rightarrow$
$2x^3=128\Rightarrow \tfrac{1}{2}\cdot 2x^3=\tfrac{1}{2}\cdot 128\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=\sqrt[3]{64}\Rightarrow x=4$

Skriv et svar til: Mindst mulige overflade af kassen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.