Side 2 - Punktmængde i planen

#20

En parameterfremstilling for randen ∂A er så

       

#21 Skal der ikke være et minus i stedet? 

#22

Et minus? Hvor? Parameterfremstillingen er korrekt.

Jeg tænker nemlig fordi x = cos(t) og y= 1-sin(t). :) 

1.Jeg ved ikke helt hvad undertagelsespunkter er, men jeg er gået ud fra, i hvilke punkter den ikke er differentiabel. Så jeg tænkte på når y=0? 

2. Jeg har udregnet randpunkterne og får kandidatværdierne 0 og 2. 

3. Det stationær punkt er (0,1) så jeg får kandidatværdien 0. 

Jeg konkluderer at min. = 0 og max.=2, er dette korrekt?

Der står så man skal illustere mine udregninger for max. og min. i delopgave d, hvordan? vha gradientplot? 

#24

Nej, her er y = 1 + sin(t)

#25

Hvad mener du med kandidatværdierne? Funktionsværdien i det stationære punkt er f(0,1) = 0 ,

På randen er (y-1)² = 1 - x² , så på randen skal man undersøge funktionen

        f₁(x) = (4/3)x³ + x² - 1 , -1 ≤ x ≤ 1

#26
Jeg forstår ikke helt, hvorfor jeg skal bruge den funktion? Vores funktion er en cirkel og det er på dennes rand at jeg skal finde max og min.
Hvad får du max og min værdierne til?
Men kandidatværdi mener jeg mulige værdier for max eller
Min.

#27

man skal bestemme det globale maksimum og det globale minimum for f(x,y) på cirkelskiven A. Det eneste stationære punkt (0,1) ligger i A, og her er f(x,y) = 0 .

På randen af cirklen gælder der (y-1)² = 1 - x² . Derfor er

        f(x,y) = (4/3)x³ - (y-1)² = (4/3)x³ + x² - 1 = f₁(x)

med -1 ≤ x ≤ 1 .

Man finder   f₁ '(x) = 0 ⇒ x² + 2x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = -2 . Man skal derfor beregne f₁(0) , f₁(-1) og f₁(1) , og man finder

        f₁(0) = -1   ,   f₁(-1) = -(4/3)    og   f₁(1) = (4/3) .

Det globale maksimum 4/3 antages derfor i punktet   (1 , 1) , mens det globale minimum -(4/3) antages i punktet (-1 , 1) .

#28

1.Jeg får x= 0 og x= -1/2

2.Jeg forstår stadig ikke hvordan du kunne regne ud at (y-1)^2 er det samme som 1-x^2?

3. Og hvordan fandt du ud af at det er i intervallet -1 = x = 1 ?

#29

1. Vis din fremgangsmåde.

2, 3. Det følger jo af at punkter på randen tilfredsstiller cirklens ligning.

Okay :-)

Hvordan kan du så se at max ligger på (-1,1) og min på (1,1)? Jeg kan se hvor vi har x-værdien fra, men hvor har du y-værdien fra?

#31

Jeg beklager, at der er en fejl i #28.

På randen gælder der, at x² + (y-1)² = 1 , og da der må gælde  x² ≥ 0 og da (y-1)² ≥ 0 , må der nødvendigvis gælde    0 ≤ x² ≤ 1 , dvs -1 ≤ x ≤ 1 .

På randen skal man derfor undersøge funktionen

         f(x,y) = (4/3)x³ - (y-1)² = (4/3)x³ - (1 - x²) = (4/3)x³ + x² - 1 på intervallet [-1;1] .

I intervallet [-1;1] har funktionen f₁(x) = (4/3)x³ + x² - 1 lokale ekstrema, der findes ved at løse ligningen

        f₁ '(x) = 0 , dvs.    4x² + 2x = 0 eller   2x·(2x + 1) = 0 , dvs for x = 0 , eller x = -1/2 .

Jeg beklager fejlen i #28. Man skal så sammenligne de to funktionsværdier f₁(0) = -1 , f₁(-1/2) = -11/12 sammen med funktionsværdierne på randen af intervallet [-1;1] ,dvs f(-1) = -4/3 , og f(1) = 4/3 .

Funktionen f₁ har altså minimum for x = -1 og maksimum for x = 1. De tilsvarende y-værdier findes ved at benytte cirklens ligning     x² + (y-1)² = 1 . For x = ± 1 får man (y-1) = 0 . I det oprindelige stationære punkt (0 , 1) for f(x,y) er f(0,1) = 0 , og funktionen f(x,y) antager derfor sit globale minimum -4/3 i punktet (-1 , 1) og den antager sit globale maksimum 4/3 i punktet (1 , 1).

Tak :) nu forstår jeg det bedre!