Punktmængde i planen

Det er uklart, hvad du har fundet i a). Man skal bestemme gradienten ∇f i punktet (0,1) , og man skal bestemme samtlige stationære punkter for f. Gradienten er en vektor.

        f(x,y) = (4/3)x³ - (y-1)² .

b) Man skal plotte mængden A = {(x,y) | x² + (y-1)² ≤ 1} . Mængden A består af alle punkter på eller inden for cirklen med centrum i (0 , 1) og med radius r = 1. Randkurven er punkterne på cirklens periferi.

#1 Jeg har fundet ét stationært punkt (0,1). Der står at jeg så skal finde gradienten i dette punkt. Jeg har afledt min funktion f mht. x og mht. y, hvorefter jeg har indsat 0 i den afledte funktion mht. x og 1 i den afledte funktion for y. 

                                 
                              solve(4 x² =0)
                 solve(-2 y + 2=1) 

Jeg er klar over hvad en randkurve er. Det er de punkter som ligger i "siderne", men det jeg vil vide er, om det er rigtigt at jeg blot skal plotte funktionen x² + (y-1)² ind eller om jeg skal lave om på den før den kan plottes? Hvordan vidste du at det var en cirkel? Hvordan ville funktionen se ud hvis det var en ellipse, trekant, firkant m.m.?

#2

Hvad har du så fundet for gradienten i dette punkt?

Jeg går ud fra, at du er bekendt med den generelle ligning for en cirkel   (x-a)² + (y-b)² = r² .

Punktmængden A er hele cirkleskiven; dens rand er punkterne på cirklens periferi. Man plotter cirklen med radius 1 og med centrum i (0 , 1).

#2

Din solve-kommando for y-delen er forkert. Stationære punkter er defineret som løsninger til ∇f = 0 .

#4: Jeg skulle finde gradienten i (0,1) hvorfor jeg har sat den lig 1, da jeg skulle solve. 

Mit stationær punkt har jeg sat lig (0.0) og jeg får at x=0 og y=1. 

Og hvordan ved du at lige netop punktet (0,1) er centrum for cirklen? :)

#5

Jeg forstår ikke din forklaring. Det er utroligt upræcist formuleret. Hvad har du sat lig med 1? Man beregner gradienten i punktet (0 , 1).

Man sætter ikke det stationære punkt lig med (0.0) . Et stationært punkt opfylder ligningssystemet

        ∂f/∂x = 0  og   ∂f/∂y = 0

#6

Man benytter den generelle ligning for en cirkel, se #3.

#7

1. Jeg har fundet mit stationær punkt til at være (0,1) ved at følge ligningssystemet  ∂f/∂x = 0  og   ∂f/∂y = 0. Jeg var måske ikke tydelig nok i min formulering. Så er dette korrekt? 

2. Jeg skal så gradienten i punktet (0,1). Jeg har så indsat det første koordinat i den afledte mht. x og det andet koordinat ind i den afledte for y. Er dette korrekt? 

#9

1. Ja, det er korrekt.

2. Man skal indsætte x = 0 og y = 1 i begge de afledede ∂f/∂x og ∂f/∂y , hvorved man beregner komponenterne af gradienten.

#8

3. Så cirkelskiven har ligningen x²+(y-1)², men hvordan finder jeg så randen?

#11

Nej, cirkelskiven har uligheden x² + (y-1)² ≤ 1 . Randen har ligningen x² + (y-1)² = 1 , som det er forklaret ovenfor i #1 og #3.

#10 Jeg har beregnet komponenterne af gradienten til 0 i den afledte for x og 0 i den afledte for y. Hvad betyder disse tal? 

#13

Det betyder jo så, at gradienten her er lig med nulvektoren, altså ∇f(0,1) = 0 , hvilket burde være indlysende, eftersom (0 , 1) er et stationært punkt for f.

#14 Så i det stationære punkt vil gradienten altid ikke have nogen retning, er det fordi tangenthældingen i det punkt er nul ?

#15

I et stationært punkt er gradienten pr definiton nulvektoren.

Man kan ikke tale om tangenthældning for en funktion af to variable. I et stationært punkt for en funktion f(x,y) har fladen z = f(x,y) "vandret" tangentplan; tangentplanens normalvektor er parallel med z-aksen.

Kan man så se et stationært punkt i forhold til niveaukurver eller er det to forskellige ting? For niveaukurver viser i hvilken retning en graf ikke vokser eller aftager - dermed har vi en tangentplan som er parallel med z-aksen eller er det forkert? 

#17

Jeg forstår ikke din forklaring.

I et stationært punkt kan der bl.a. være lokalt ekstremum eller et sadelpunkt. Med lidt træning kan man identificere sådanne punkter ud fra niveaukurver. Tangentplanen er vinkelret på z-aksen i et stationært punkt.

 Hej :)
 

a)

For at finde de stationære punkter skal du blot finde de partielle adledede og løse ligningerne

b)

Du skal ikke plotte funktionen, men punktmængden. 

Se på punktmængden og husk hvordan parameterfremstillingen for en cirkel ser ud:

og se den i forhold til din punktmængde

Punktmængden A er altså cirklen med centrum i (0,1) med radius 1, MEN er også alt det 'inde i cirklen'.
Dette fremgår af brugen af operatoren     i stedet for kun cirkelperiferien, som fremkommer ved streng lighed.

Nærmere beskrevet er A den cirkelskive der har centrum i (0,1) og radius 1
 - Hvis du bruger Maple, kan du evt. bruge kommandoen inequal (ulighed, xspec, yspec, options) til dit plot.

Opskriften til at opskrive en parameterfremstilling for randkurven, , er allerede blevet beskrevet.
Det er jo bare cirkelskiven uden 'det indre', altså bare cirklen.

#19: Super!! Hvordan skal undtagelsespunkter forståes? Jeg skal nemlig gennem nogle forskellige trin for at finde maks og min og det er et af dem :)