Sin, cos og cirkler

Hint: Linearkombinationer af sinus/cosinus-funktioner er også blot en sinus/cosinus-funktion:

k2*cos(bt)+k3*sin(bt) = K*sin(bt+phi)

hvor K = sqrt((k2)^2+(k3)^2) og fasevinklen

phi = Arctan(b/a) for a >= 0
phi = Arctan(b/a) +/- pi for a
Jeg kan dog ikke se, at længden af stedvektoren (x(t),y(t)) skulle være konstant, eftersom der indgår en faktor exp(k1*t), som varierer med t.

Hej fixer

Mange tak for dit svar. Jeg har printet det ud og har endelig haft den fornødne tid til at kigge grundigt på det. Men jeg forstår desværre slet ikke dit hint. Ikke engang, hvordan du får følgende:

k2*cos(bt)+k3*sin(bt) = K*sin(bt+phi)

acos(V) + b(sin(V), hvor a og b er positive konstanter.

a[cos(V)+b/asin(V)]

tan(phi)=b/a=sin(phi)/cos(phi),
hvoraf

a[cos(V)+sin(phi)/cos(phi)*sin(V)]

a/cos(phi)[cos(V)cos(phi)+sin(V)*sin(phi)]

a/cos(phi)*cos(V+phi)
og da a og phi er konstanter

k*cos(V+phi)

Betragt

f(x) = acos(x) + bsin(x)

Lad så

K = sqrt(a²+b²)

Så kan f skrives

f(x) = K*(a/K*cos(x) + b/K*sin(x))

Men da tydeligvis (a/K)² + (b/K)² = 1 kan vi ved sammenligning med idiotformlen cos²(v) + sin²(v) = 1 opfatte (a/K) og (b/K) som h.h.v. sinus og cosinus (eller omvendt) af et eller andet argument v:

sin(v) = a/K

cos(v) = b/K

Dermed bliver (under passende forudsæninger således at division med nul undgåes)

tan(v) = sin(v)/cos(v) = a/b

hvilket leder til de i #1 angivne formler for bestemmelse af v (benævnt phi i #1). Jeg kan dog se jeg kom til at foregribe dette indlæg, ved der at komme til at benævne k2 med b og k3 med a.

Altså kan vi skrive

f(x) = K(cos(x)sin(v)+sin(x)cos(v))

hvorefter een af additionsformlerne giver

f(x) = Ksin(x+v) = sqrt(a²+b²)sin(x+v) (*)

Bemærk nu, at din vektorfunktion har præcist samme form i x og y komposanten, blot er konstanterne på de trigonometriske funktioner byttet om. Det betyder, at linearkombinationen af de trigonometriske funktioner for både x og y-komposanten kan skrives på formen (*), kun v vil være forskellig i de to udtryk. Ser vi botr fra faktoren exp(k1*t) haves nu

(x(t),y(t)) = K(sin(bt+v1),sin(bt+v2))

og vi ved at

v1 = Arctan(k2/k3)
v2 = Arctan(k3/k2)

Dernæst udnyttes, at der generelt gælder

Arctan(x/y) + Arctan(y/x) = pi/2

hvilket kan udnyttes til at den ene af vinklerne dropper ud og en sinus (cosinus) kan laves om til en cosinus (sinus).

Men man kan ikke opnå, at der kommer samme argument i begge trigonometriske funktioner, derfor vil stedvektoren gennemløbe en ellipse [igen: vi ser bort fra faktoren exp(k1*t)] fremfor en cirkel.

#3
Dog lyder additionsformlen:

cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) = cos(x-y)

#5 har gjort opmærksom på en "tegn"-fejl i #3, som hermed beklages og hurtigst muligt korrigeres til:

cos(V)cos(phi)+sin(V)*sin(phi)=

cos(V-phi),
hvorfor
k*cos(V+phi)
rettes
til

k*cos(V-phi)!!!

Mange tak for jeres svar!
Det hjalp gevaldigt på forståelsen. Nu kan jeg sidde og nikke samtykkende under forelæsningerne, når forelæseren anvender dette :)