Integral med rumfang

#0:
Vi har funktionen

f²(x)
= (3/2 + 4*x^(1/2))²
= (3/2)² + 2*3/2*4*x^(1/2) + (4*x^(1/2))²
= 9/4 + 12*x^(1/2) + 16*x

Idet vi udelader integratorskonstanten, fås følgende:

S[f²(x)]dx
= S[9/4 + 12*x^(1/2) + 16*x]dx
= 9/4*S[1]dx + 12*S[x^(1/2)]dx + 16*S[x]dx
= 9/4*x + 12*2/3*x^(3/2) + 16*1/2*x²
= 9/4*x + 8*x^(3/2) + 8*x²

Nu indsætter du så grænserne, hvorefter du ganger med pi. Jeg ender med resultatet

V = pi/4*(3217 + 320*10^(1/2))

Dette er selvfølgelig med forbehold for regnefejl.

...der er IKKE tale om "den fjerde kvadratrod".

Missèren kommer formentlig af, at man ikke gider skrive den anden rod altså et 2 tal efterfulgt af et rodtegn (jeg forsøger her 2V(x))- hvor der skulle have været en streg hen over x'et).

Den modsatte regningsart af x^2 er den 2. rod 2V(x)

Den modsatte regningsart af x^3 er den 3. rod 3V(x)

Den modsatte regningsart af x^4 er den 4. rod 4V(x)

.........

Den modsatte regningsart af x^n er den n. rod nV(x)
så
da du i sin tid lærte om kvadratrod, burde den være kaldt den 2. rod 2V(x).
Af bekvemmelighedsgrunde skriver man ikke 2-tallet - kalder den kvadratrod - og skriver bare V(x). Det bliver en indarbejdet rutine.

Så kommer du i gymnasiet, hvor man opererer med fx. den 4. rod - skrevet 4V(x) - og så er fanden løs, for nu læser du det som den 4. kvadratrod, som der ikke er noget, der hedder! OK

altså den fjerde rod af...

4V(x) = x^(1/4) som 2V(x) = x^(1/2)
eller
generaliseret

n.te rod af x nV(x) = x^(1/n) (hvilket kan bevises ved hjælp af logaritmer).

10
pi * S (1,5+4kvdr(x))^2
1

(1,5+4kvdr(x))^2 = (1,5+x^(1/4))^2 (ved brug af (a+b)^2=a^2+2ab+b^2)

1.5^2 + 2*1.5*x^(1/4) + (x^(1/4))^2 (ved brug af (a^n)^m = a^(n*m))

2.25 + 3*x^(1/4) + x^(1/2)

S (1,5+4kvdr(x))^2*dx

S (2.25 + 3*x^(1/4) + x^(1/2))dx

S 2.25dx + 3*S x^(1/4)dx + S x^(1/2))dx

2.25x + 3*(4/5)*x^(5/4) + (2/3)x^(3/2),
hvoraf


10
pi*S (1,5+4kvdr(x))^2 =
1

10
pi*[2.25x + 2.4*x^1.25 + (2/3)x^1.5]=
1

pi*[86.2606 - 5.31667]=

80.9439*pi = 254.293