Ingen der har noter

Hejsa, her er en gammel formelsamling for lineære funktioner, dog uden illustrationer, og jeg vil ikke udelukke, at der er småfejl hist og her.


Formelsamling, lineære funktioner:


y-værdien og x-værdien bestemmes:

(x1, y1) og (x2,y2) ligger på en ret linje i et sædvanligt koordinatsystem med følgende ligning:

Y=a·x+b

Kender vi y-værdien, kan x-værdien snildt bestemmes ved at løse ovenstående ligning. Sådan:

Y=a·x+b
y-b=a·x
y-b/a=x

X=y-b/a















Bestemmelse af a og b ud fra formlen

Hvis a og b er faste tal, kaldes sammenhængen for lineær.
Hvis to koordinatsæt i ligningen giver b som det samme tal, er b et fast tal. Det vil vi vise her:

Y1=a·x1+b
b=y1-a·x1

Y2=a·x2+b
b=y2-a·x2

Vi beregner hældningskoefficienten a:

På baggrund af ovenstående ligning ser vi at:

Y1-a·x1 = y2-a·x2
(Vi lægger a·x2 til på begge sider af lighedstegnet)
Y1-a·x1+a·x2=y2
(Vi trækker y1 fra på begge sider af lighedstegnet)
a·x1-a·x2=y2-y1
a·(x2-x1)=y2-y1
Under forudsætning af, at x2 og x1 ikke er nul, eller identiske, kan vi sige:

a=y2-y1/x2-x1
eller
a=y1-y2/x1-x2

Herefter kan konstantleddet b bestemmes ved brug af ligningen:

b=y1-a·x1

Tallet b viser y-koordinaten til linjens skæringspunkt med andenaksen.



a er y-tilvæksten pr x-enhed:

Hver gang x vokser med én værdi, så vokser y med a.
Hvis y=a·x+b og x vokser med 1, så vokser y med a.

Enhver x-tilvækst (h) giver i forbindelse med lineære funktioner anledning til en y-tilvækst, som er lig a ganget med x-tilvæksten. (Det vil sige a·h).
Derfor er a y-tilvæksten pr x-enhed.
Hvis a›0 iagttager vi en voksende lineær sammenhæng,
Hvis a‹0 har vi at gøre med en aftagende lineær funktion,
Hvis a=0 vil funktionen være konstant.



INDSÆT ILLUSTRATION




Bevis for a som y-tilvæksten pr. x-enhed:

y1=a·x+b

y2=a·(x+h)+b
y2=a·x+a·h+b
y2=(a·x+b)+a·h

y2=y1+a·h








Ligefrem proportionalitet

Proportionalitet er lineære funktioner, hvor konstantleddet b er nul.
x og y er positive størrelser, ligefrem proportionale og adskiller sig fra hinanden ved den konstante faktor a, som er et positivt tal og kaldes proportionalitetskonstanten.

De positive x og y er i et indbyrdes afhængighedsforhold efter formlen:

y=a·x

Hvis vi kender værdierne x og y, kan vi finde proportionalitetskonstanten a ud fra formlen:

a=y/x

Hvis vi tegner en ligefrem proportionalitet i et koordinatsystem, vil linjen altid gå gennem (0,0) med hældningsgraden a.



Illustration her (0,0)













Omvendt proportionalitet

Vi har at gøre med omvendt proportionalitet, hvis x og y er to positive størrelser, der afhænger af hinanden efter forskriften
y=k/x
hvor k er et positivt tal. (k er konstanten).
(x?0 idet man ikke dividerer med nul)

Sådan bestemmer vi k, hvis vi kender et sæt sammenknyttede værdier af x og y:
Ved at gange med x på begge sider af lighedstegnet, ser vi at x og y er omvendt proportionale:
x·y=k

INDSÆT ILLUSTRATION AF TO HYPERPELGRENE, hvis x er positiv, hvis x er negativ.

Hvis man falder over noget, der minder om en hyperpelgren, kan man bruge 1/x og se, om de er omvendt proportionale, fordi x og y da vil være:
y=k·1/x
Hvis vi vil checke, om vi ser på omvendt proportionalitet, kan vi tegne 1/x på førsteaksen og y på andenaksen. Vi vil opnå en ret linje gennem (0,0), med stigningstallet k, hvis antagelsen er korrekt.


Illustration der viser ovenstående rette linje, 0,0 stigns.tal K.

Søg i opgaver, der ligger nogle formelsamlinger med illustrationer, som er gode.