udledning af den resulterende kraft

 #0: I hvilken forbindelse snakker vi?

Stedvektorfunktionen for en cirkelbevægelse er:

r(t) = (r*cos(φ) , r*sin(φ)) = (r*cos(ωt) , r*sin(ωt)).

Acceleration kan findes ved at differentiere en partiklens stedvektor to gange.

v(t) = r'(t) = (-r*ω*sin(ωt) , r*ω*cos(ωt)) = r*ω* (-sin(ωt) , cos(ωt))

⇒ a(t) = v'(t) = r''(t) = (-r*ω²*cos(ωt) , -r*ω²*sin(ωt)) = -r*ω² * (cos(ωt) , sin(ωt))

Det ses, at accelerationen er rettet ind mod centrum af cirklen, således at den resulterende kraft også er. Størrelsen af accelerationen er givet ved:

|a| = √((-r*ω²*cos(ωt))² + (-r*ω²*sin(ωt))²)

     = √(r²*ω⁴*cos²(ωt) + r²*ω⁴*sin²(ωt))

     = √(r²*ω⁴)

     = r*ω²

Vi benytter nu fra rotationsmekanikken, at v = r*ω ⇔ ω = v/r, så

a = r*(v/r)² = v²/r

Ved indsættelse af udtrykkene for accelerationen i Newtons 2. lov (F_res = m*a) haves:

F_res = m*a = m*v²/ r

Den resulterende kraft kan ved indsættelse af udtrykket for farten v (2pi*r²/T, som fås af v = Λs/Λt) ) beskrives som:

F_res = m*(2pi*r/T)²/r = m/r*(4pi²*r²)/T² = m*(4pi²/T²)*r

Bemærk, at bold skrift angiver vektoriel størrelse!