Optimering cylinder rumfang

tegn et plant, lodret tværsnit gennem kuglens centrum.

du får heri et rektangel i kuglens storcirkel.

Tegn en radius fra cirkelcentrum til rektanglets øvre, højre hjørne.
Tegn fra cirklens centrum vinkelret op på rektanglet øverste side den halve cylinderhøjde, h/2.

Vinklen mellem (h/2) og radius r i storcirklen kaldes θ.

Du har nu:
                (h/2) = r·cos(θ)
                 r₁ = r·sin(θ)                   r₁ er cylinderens radius

hvoraf
        V = h·π·r₁²                            V er cylinderens volumen

som ved indsættelse giver

        V = (2r·cos(θ))·π·(r²·sin²(θ))

        V = 2πr³·(cos(θ) - cos³(θ))

        V = 54π·(cos(θ) - cos³(θ))      som du kan differentiere med hensyn til θ

        V ' = 54π(-sin(θ) - 3cos²(θ)·(-sin(θ))

        V ' = 54π(3(1-sin²(θ))·sin(θ) - sin(θ))

        V ' = 54π·sin(θ)·[2 - 3sin²(θ)] = 0  hvoraf maksimumvinklen beregnes
                                                                ved brug af nul-reglen for 0 < θ < (π/2)

radius i cylinderen:r

cylinderens højed: h

(h/2)²+r²=3² ⇒ r²=3²-h²/4

V=π*r²*h                  r² indsættes

V=π (9-h²/4)h

find V' og sæt den lig 0

find h af ligningen

Er der ikke en der kan regne den helt færdigt så man forstår det ordenligt ? plz

        V '(θ) = 54π·sin(θ)·[2 - 3sin²(θ)] = 0  hvoraf maksimumvinklen beregnes
                                                                ved brug af nul-reglen for 0 < θ < (π/2)
                                                                i hvilket interval sin(θ)>0

hvoraf kun
        2 - 3sin²(θ) kan være lig med 0
hvorfor

       3sin²(θ) = 2
         sin²(θ) = (2/3)
        
          h = 2·r·cos(θ) = 2·3·√(1-sin²(θ)) = 2·3·√(1-(2/3)) = 2√(3)