forskellen mellem en fortegnsundersøgelse og en monotoniundersøgelse

Fortegnsundersøgelsen undersøger fortegnet af f(x), mens montoniundersøgelsen undersøger fortegnet af f'(x).

Se fx på funktionen med forskriften f(x) = x² + 3x - 4. Vi løser først ligningen f(x) = 0. Det er en andengradsligning med diskriminant d = 3² - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25. Løsningerne er således x = (-3 ± √25)/(2*1), dvs. x = 1 ∨ x = -4. I disse punkter skærer grafen for f x-aksen. For at undersøge fortegnet for f(x) beregner vi funktionsværdien i et punkt til venstre for den mindste rod, et punkt mellem de to rødder og et punkt til højre for den større rod. Vi får f(-5) = 6, f(0) = -4 og f(2) = 6. Således er f(x) > 0 for x < -4 og x > 1 og f(x) < 0 for -4 < x < 1.

Det var fortegnundersøgelse. I monotoniundersøgelsen ser vi på f'(x) = 2x + 3. Ligningen f'(x) = 0 har kun én løsning, nemlig x = -3/2. Så ser vi på fortegnet for f'(x) hhv. til venstre for og til højre for x = -3/2. Vi får f'(-2) = -1 og f'(0) = 3. Således er f'(x) < 0 for x < -3/2 og f'(x) > 0 for x > -3/2. Dvs. at grafen for f(x) er aftagende i intervallet -∞ < x < -3/2 og voksende i intervallet -3/2 < x < ∞.

Jeg håber du fik noget ud af dette.

mange tak for hjælpen :)