anvendelse af differentialligninger

 et skud fra hoften....

y' = -k·(y +0,02)

hvor k er en konstant, der har betydning for udskillelseshastigheden
og y er mængden af bly i knoglerne

svaret på differentialligningen skal være:

y(t)=1/k*(0,02-c*e^-k*t)

så det er desværre ikke rigtigt... :(

 y' = -k·y(t)  viser at mængden af bly i knoglerne som funktion af tiden y(t) er aftagende, da proportionalitetskonstanten k er negativ.

vi antager at t måles i døgn, hvorved y(t) er mængden af bly i knoglerne som funktion af antal døgn, hvis personen ikke indtager bly. Hvis denne person gennem maden optager 0.02 g bly dagligt må differentialligningen nødvendigvis omskrives til:

y' = -k·(y + 0,02) = -ky -0,02k = -0,02k -k·y

denne differentialligning følger modellen y' = b -ay  som har den fuldstændige løsning  y = b/a + c·e^-at
hvor c er et tal.

I dette aktuelle tilfælde er a = k   og b = -0,02k  hvormed løsningen bliver:

                                                                            y(t) = -0,02k/k +c·e^-kt = -0,02 + c·e^-kt

skulle jeg mene :-)

kan godt se hvad du mener, men hvor dan vil du så forklare opgave b, som lyder:

vis at y(t)=1/k*(0,02-c*e^-k*t), hvor k og c er konstanter?

Der er måske en fortegnsfejl.

Indtagelse af 0,02 mg bly kan ikke give et negativt bidrag til blyinholdet i en person.

Med et plus vil der være et blyindhold på 0,02 mg uanset hvor lang tid der går ( spædes op dagligt ).

Men så må differentialligningen være y' = - k•( y - 0,02) = - k•y + k•0,02 .  Vi antager, at blyindholdet i en person er >0,02 mg, ellers vil organismen ikke kunne udskille det.

Jeg tyder diffligningen således: der udskilles -k•y og der tilkommer 0,02 som også skal udskilles og derfor ganges med k. som da det ikke er en udskillelse må have minus fortegn.

Hvis vi ser bort fra udskillelsen af det bly, der er udskilles fra kroppen ( - k•y ) får vi y' = k•0,02. Altså et positiv y', fordi vi kun fylder på.

Håber det er rigtigt, ellers kommer hr. Andersen efter mig :-)

Ved nærmere eftertanke: y' = - k•y +0,02  er nok rigtigere. y' er da en konstant, når vi ser bort fra kroppen udskillelse.

Vi får da løsningen, som #4 efterlyser.

Jeg havde overset at 0,02 har dimension [ mg / døgn ], k har dimension [ 1 / døgn ] og y [ mg ]

#6 Fortsat

Løsning #4 er mit bedste bud, den tager højde for at grænseværdien kan være højere end end den mængde der tilføres pr. døgn. Det er vel et spørgsmål om på hvilket tidspunkt indtaget indgår i y(t).

 det er nemt at "gå galt i byen" med fortegnene i disse differentialligninger :-)

jeg vil give pensionist ret i løsning #4