Matematik

Differentiallininger med begyndelses værdi

10. juni 2014 af BasicMath (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg sidder med en opgave jeg ikke helt forstår.

Jeg skal skal løse differential ligningen

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-9*y$

med begydelsesbetingelserne y(0)=2 og y'(0)=9

Jeg forstår ikke hvad jeg skal gøre i denne opgave, og er faktisk på bar bund :(

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. juni 2014 af mathon

generelt:
løsningen til
$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(y)=y{\, }''=-\omega ^2\cdot y$

er
$y(x)=c_1\cdot \cos(\omega x)+c_2\cdot \sin(\omega x)=A\cdot \sin(\omega x+\varphi _o)$
med
$y{\, }'(x)=\omega A\cdot \cos(\omega x+\varphi _o)$

Brugbart svar (1)

Svar #2
10. juni 2014 af mathon

så du har

             $y(x)=c_1\cdot \cos(3 x)+c_2\cdot \sin(3 x)$
og
                 $y(0)=c_1\cdot \cos(3\cdot0)+c_2\cdot \sin(3\cdot 0)=c_1\cdot 1=2$
                                c_1=2

$y{\, }'(x) =-6\cdot \sin(3x)+3c_2\cdot \cos(3x)$

$y{\, }'(0) =-6\cdot \sin(0)+3c_2\cdot \cos(0)=9$

$0+3c_2\cdot 1=9$

c_2=3

konklusion:
$y(x)=2\cdot \cos(3 x)+3\cdot \sin(3 x)$

Svar #3
10. juni 2014 af BasicMath (Slettet)

Hvorfor kommer cos og sin ind ?

Svar #4
10. juni 2014 af BasicMath (Slettet)

#1
generelt:
           løsningen til
                                         $\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(y)=y{\, }''=-\omega ^2\cdot y$

er
                                         $y(x)=c_1\cdot \cos(\omega x)+c_2\cdot \sin(\omega x)=A\cdot \sin(\omega x+\varphi _o)$
med
                                         $y{\, }'(x)=\omega A\cdot \cos(\omega x+\varphi _o)$

Er det med vijle det der at 3 tallet ligger ned i ligningen eller en tast fejl?

Svar #5
10. juni 2014 af BasicMath (Slettet)

Eller er det Omega ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. juni 2014 af mathon

…det er omega.

Svar #7
11. juni 2014 af BasicMath (Slettet)

Vil du ikke forklarer step by step hvordan du løser den.. Kan simpelhen ikke forstå hvordan du kommer frem til det...

På forhånd tusind mange tak!

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. juni 2014 af mathon

basisviden
løsningen til
$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(y)=y{\, }''=-\omega ^2\cdot y$

er
$y(x)=c_1\cdot \cos(\omega x)+c_2\cdot \sin(\omega x)$

Svar #9
11. juni 2014 af BasicMath (Slettet)

Hvor finder jeg tallet, der skal stå på Omega's plads, i differentialligningen?

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. juni 2014 af mathon

sinus- og cosinusfunktioner dobbeltafledet er lig med sig selv med modsat fortegn.

    dvs
               både
                            $c\cdot \cos(\omega t)$
               og
                            $c\cdot \sin(\omega t)$
er en partikulær løsning til

$\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(y)=y{\, }''=-\omega ^2\cdot y$
den fuldstændig løsning kan vises
at være en linearkombination af sinus- og cosinusfunktionen:

$y=c_1\cdot \cos(\omega t)+c_2\cdot \sin(\omega t)$

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. juni 2014 af mathon

en kontrolberegnng viser:

$y=c_1\cdot \cos(\omega x)+c_2\cdot \sin (\omega x)$

$y{}'=-\omega \cdot c_1\cdot \sin\left (\omega x \right )+\omega \cdot c_2\cdot \cos(\omega x)$

$y{}''=-\omega^2 \cdot c_1\cdot \cos\left (\omega x \right )-\omega^2 \cdot c_2\cdot \sin(\omega x)=-\omega^2 \cdot \left (c_1\cdot \cos\left (\omega x \right )+ c_2\cdot \sin(\omega x) \right )=$

$-\omega ^2\cdot y$

Svar #12
11. juni 2014 af BasicMath (Slettet)

Hvorfor er det Omega kommer ind i billede?

Brugbart svar (0)

Svar #13
11. juni 2014 af mathon

Fordi din differentialligning har formen

$y{}''=-3^2\cdot y$

med den fuldstændige
løsning:
$y=c_1\cdot \cos(3x)+c_2\cdot \sin(3x)$

hvor c_1 og c_2 beregnes af begyndelsesbetingelserne y(0)=2 og y{}'(0)=9 ,

som det fremgår af #2.

Skriv et svar til: Differentiallininger med begyndelses værdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.