Du skal redegøre for den naturlige eksponentielfunktion og dens differentialkvotient ..

Det kan du læse om i din matematikbog

Der står en ½ side, 

Definition 7.2 

Den eksponentialfunktion, hvis graf i (0, 1) har en tangent med hældningen 1, kaldes den naturlige eksponentialfunktion

Dog synes jeg ikke det er besvarende nok.

Det er det heller ikke. Du skal formodentlig have fat i hvad en eksponentialfunktion er og hvad dens afledede er.

eksponentialfunktionen kan defineres på forskellig måde, så du skal have fat i hvad der står i din bog

generelt:     

       y = f(x)
       x = f^-1(y)
       (f^-1(y))' = 1/f '(x) = 1/(f '(f^-1(y)))

specifikt:

       y = exp(x) = e^x
       x = ln(y)
       (e^x)' = 1/ln'(y) = 1/(1/y) = y = e^x

Spørgsmål 10. Differentialregning

 Du skal redegøre for den naturlige eksponentielfunktion og dens differentialkvotient samt           forklare,  hvorledes en eksponentiel funktion på formen f(x) = b·ax kan omskrives  til formen f(x) = b·ekx.   

Den naturlige eksponentialfunktion

Graferne for alle eksponentialfunktionerne f(x) = ax går som omtalt gennem (0, 1). Vi udvælger nu dén blandt alle eksponentialfunktionerne, hvis graf i (0, 1) har en tangent med hældningen 1 (fig. 7.2). Det viser sig nemlig, at denne eksponentialfunktion i mange henseender er betydningsfuld. Vi går ud fra, at en sådan eksponentialfunktion findes.

Definition 7.2 

Den eksponentialfunktion, hvis graf i (0, 1) har en tangent med hældningen 1, kaldes den naturlige eksponentialfunktion.

Grundtallet for den naturlige eksponentialfunktion fås som funktionsværdien i 1 (se fig. 7.2). Dette grundtal betegnes e, hvor  [Description: e \approx 2,718281828 \ldots]  Det kaldes Eulers tal  efter den store matematiker Leonhard Euler (1707-83).

Den naturlige eksponentialfunktion har forskriften f(x) = ex.

Man benytter af og til en anden skrivemåde for eksponentielle udviklinger, idet de udtrykkes ved hjælp af den naturlige eksponentialfunktion. Vi kan fx se på funktionen

[Description: f(x) = 750 \cdot e^{0,15x} \; .]

Ved hjælp af potensreglen  [Description: a^{pq}=(a^p)^q]  kan vi omskrive sådan:

: f(x) = 750 \cdot (e^{0,15})^x = 750 \cdot 1,162^x \; .]

Der er altså tale om en eksponentiel udvikling med begyndelsesværdi  og en vækstrate på  [Description: 16,2\%] .

På samme måde er

 g(x) = 630 \cdot e^{-0,065x} = 630 \cdot (e^{-0,065})^x = 630 \cdot 0,937^x \; ,]

så begyndelsesværdien er : 630]  og vækstraten  [Description: 0,937 - 1 = -0,063 = -6,3\%] .

Omskrivning af f(x) = b·ax kan omskrives  til formen f(x) = b·ekx.   

Regneforskriften er givet på formen y=b·ax.

Vi ønsker at omskrive til formen y=b·ek·x.

Vi omskriver:

ek=a

Ligningen opstilles inspireret af det foregående

ln(ek)=ln(a) 

Ligningen løses mht. k

k·ln(e)=ln(a)       

En af logaritmereglerne anvendes

k=ln(a)   

Vi udnytter ln(e)=1

Med denne værdi af k er a=ek, og derfor er ax=(ek)x=ek·x

Vi har således fået omskrevet til formen y=b·ek·x.