Matematik

Differentiering af sammensat funktion

08. september 2014 af Haxxeren - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg har funktionen u(x,t) = u(ξ(x,t) , η(x,t)) som skal differentieres mht. x, dvs. ∂u/∂x:

∂u/∂x = ∂u/∂ξ · ∂ξ/∂x + ∂u/∂η · ∂η/∂x = ∂u/∂ξ · ∂u/∂η for ∂ξ/∂x = ∂η/∂x = 1

Men... hvordan regner jeg ∂²u/∂x²? Altså ∂/∂x (∂u/∂ξ · ∂u/∂η)?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. september 2014 af peter lind

∂u/∂ξ · ∂u/∂η skal formentlig være ∂u/∂ξ + ∂u/∂η

Hvis det er tilstrækkelig pæne funktioner gælder der at du kan bytte om på differentiationsrækkefølgen så for eks.

∂( ∂u/∂ξ)/∂x = ∂(∂u/∂x)/ ∂ξ

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man differentierer udtrykket

∂u/∂x = ∂u/∂ξ · ∂ξ/∂x + ∂u/∂η · ∂η/∂x

med hensyn til x:

∂²u/∂x² = (∂²u/∂ξ²·∂ξ/∂x + ∂²u/∂ξ∂η·∂η/∂x)·∂ξ/∂x + ∂u/∂ξ·∂²ξ/∂x²

+ (∂²u/∂ξ∂η·∂ξ/∂x + ∂²u/∂η²·∂η/∂x)·∂η/∂x + ∂u/∂η·∂²η/∂x² .

Svar #3
08. september 2014 af Haxxeren

#1 og #2

Tak. Jeg tror, at jeg har fanget metoden.

Kan I egentlig se, hvordan -2(1 + (y/x)²)^-2 · y³/x⁵+ 2(1 + (y/x)²)^-1 · y/x³

kan reduceres til 2xy/(x² + y²)?

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er heller ikke korrekt. Det bliver

2xy / (x² + y²)² .

Forlæng til fælles nævner for brøkerne og reducer.

Svar #5
08. september 2014 af Haxxeren

Ja, korrekt. Det var en tastefejl.

Så får man:

(-2(1 + (y/x)²)^-2 · y³ + 2(1 + (y/x)²)^-1 · yx²)/x⁵

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Med "brøker" tænkte jeg nu mere på nævnerne (1 + (y/x)²)^-2og (1 + (y/x)²)^-1 .

$\frac{-2\frac{y^{3}}{x^{5}}}{(1+(\frac{y}{x})^{2})^{2}}+\frac{2\frac{y}{x^{3}}}{1+(\frac{y}{x})^{2}}=2\frac{y}{x}(\frac{-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}})\newline\newline=2\frac{y}{x}\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Svar #7
09. september 2014 af Haxxeren

Tak.

En sidste ting: hvordan kan jeg vise, at:

1/r² · ∂/(∂r) (r² · ∂ψ/(∂r)) = 1/r · ∂²(rψ)/(∂r²)

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Vis, at venstresiden er lig med højresiden.

(1/r²) · ∂/∂r (r² · ∂ψ/∂r) = (1/r²)·(2r·∂ψ/∂r + r²·∂²ψ/∂r²) ,

(1/r) · ∂²(rψ)/∂r² = (1/r) · ∂/∂r(ψ + r·∂ψ/∂r) = (1/r)·(∂ψ/∂r + ∂ψ/∂r + r·∂²ψ/∂r²)

Svar #9
09. september 2014 af Haxxeren

Ja, det virker ikke logisk nok til at kunne vise det. Kan du skubbe mig på rette vej?

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Se #8 med tilføjelsen.

Svar #11
09. september 2014 af Haxxeren

#10

Jeg er helt blank lige nu.

Hvad viser du på første linje i #8? Er det venstresiden du arbejder videre med?

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Ja, første linie er venstresiden, anden linie er højresiden.

Svar #13
09. september 2014 af Haxxeren

#12

Tak for det.

Skriv et svar til: Differentiering af sammensat funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.