Matematik

Suppeskåls rumfang

20. maj 2015 af Human12 (Slettet) - Niveau: C-niveau

Hej med jer

Jeg har fandmet brugt meget tid på dette spørgsmål, men kan ikke finde ud af, det kan være dejligt hvis der er en da har lyst til at hjælpe mig med det.

spørgsmål:

En kineisisk suppeskål har form som en pyramidestub, således at skålen står på den lille grundflade. I den store grundflade er sidelængden a =14 cm. I den lille grundflade er sidelængden b 5cm. Skålens højde (dybde) h=4,5 cm.

Ved hvilken højde, regnet fra bunden er skålen netop halvfyldt???

tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. maj 2015 af mathon

Når volumenforholdet er $\tfrac{1}{2}$
er det lineære forhold $\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

En halvt fyldt suppeskål har suppehøjden:
$(4,5\; cm)\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\approx 3{,}57165 \; cm$

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. maj 2015 af mathon

detaljer:
$V_{pyrastub}=\frac{\pi }{3}\cdot h\cdot \left ( G+g+\sqrt{G\cdot g} \right )$

$\frac{1}{2}\cdot V_{pyrastub}=\frac{\pi }{3}\cdot k\cdot h\cdot \left ( k^2\cdot G+k^2g+\sqrt{k^2G\cdot k^2g} \right )=k^3\cdot\left (\frac{\pi }{3}\cdot h\cdot \left ( G+g+\sqrt{G\cdot g} \right ) \right )$

hvoraf

$\frac{1}{2}\cdot V_{pyrastub}=k^3\cdot V_{pyrastub}$

$k^3=\frac{1}{2}$

$k=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. maj 2015 af SuneChr

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1603912

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. maj 2015 af Soeffi

Følgende løsning bygger på at finde volumenet ved integration (muligvis over C-niveau).

Tegningerne viser skålen drejet 90º og lagt ind i et koordinatsystem. Her kan man se sidelængde langs y-aksen og højde langs x-aksen. På figuren til venstre er vist et tal a, der deler skålen i to lige store volumener. Suppens højde i skålen findes som

H = a - 2,5 cm

Figuren til højre viser hvordan de to lige store rumfang findes ved først at integrere led af formen [(2x)²·dx] fra 2,5 cm til a og dernæst fra a til 7,0 cm.

Man får for a:

$\int_{2,5}^{a}(2x)^{2}dx=\int_{a}^{7,0}(2x)^{2}dx\Rightarrow \int_{2,5}^{a}x^{2}dx=\int_{a}^{7,0}x^{2}dx\Rightarrow$

$\frac{1}{3}[x^{3}]_{2,5}^{a}=\frac{1}{3}[x^{3}]_{a}^{7,0}\Rightarrow a^{3}-2,5^{3}=7,0^{3}-a^{3}\Rightarrow$

$a=\sqrt[3]{\frac{7,0^{3}+2,5^{3}}{2}}=5,639$

Højden fås til 5,639 cm - 2,5 cm = 3,14 cm

Vedhæftet fil:P5200009.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. maj 2015 af Soeffi

Alternativt: Ved at anvende formlen for pyramidestubbens rumfang får man, idet V(h) er rumfanget fra bunden af skålen op til højden h og V(total) er skålens samlede rumfang:

$V(h)=\frac{1}{2}\cdot V(total)\Rightarrow$

$\frac{h}{3}(G+g+\sqrt{G\cdot h})=\frac{1}{2}\cdot \frac{4,5}{3}(14^{2}+5^{2}+\sqrt{14^{2}\cdot 5^{2}})\Rightarrow$

$\frac{h}{3}((5+2h)+5^{2}+\sqrt{(5+2h)\cdot 5})=218,25\;cm^{3}\Rightarrow$

$\frac{4}{3}h^{3}+10h^{2}+25h-218,25\;cm^{3}=0\Rightarrow$

$h=3,14 \;cm, som\;vist\;nedenfor$

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-05-20 at 10.46.55 AM.png

Svar #6
20. maj 2015 af Human12 (Slettet)

wow tusind tusind tak for hjælpen :) fatter virkelig ikke om, hvordan kan I være så sød at bruge så meget af jeres tid til at besvare på andres spørgsmål?

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. maj 2015 af mathon

#1 er forkert, da jo ikke ændres.

Svar #8
20. maj 2015 af Human12 (Slettet)

til nr.6. Jeg forstår ikke om, hvordan 218.25 bliver til 3.14 lige pludselig?

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. maj 2015 af mathon

Med alle længdemål i cm og alle volumenmål i cm³:

Volumen af suppeskål:
$V=\frac{\pi }{3}\cdot h\cdot \left ( G+g+\sqrt{G\cdot g}\right )$

$V=\frac{\pi }{3}\cdot 4{,}5\cdot \left ( 14^2+5^2+\sqrt{14^2\cdot 5^2} \right )=1371{,}31$

Ved tegning af en skitse med tilføjelse af mål
fremgår det af ensvinklede trekanter,
at forholdet mellem højdeformindskelsen $\Delta h$ og halvsidens formindskelse i den øvre
pyramidestubflade ved halvt volumen
er
$\frac{\Delta h}{x}=\frac{4{,}5}{4{,}5}=1$
dvs
$\Delta h=x$

hvoraf for halvt volumen
$\frac{1371{,}31}{2}=\frac{\pi }{3}\cdot (4{,}5-x)\cdot \left ( (14-2x)^2+5^2+\sqrt{(14-2x)^2\cdot 5^2} \right )$

$x=\Delta h=1{,}36098$

højde ved halvt volumen
4{,}5-1{,}36098=3{,}13902

Svar #10
21. maj 2015 af Human12 (Slettet)

Er vi enig om, at den er 1 i stedet for "PI" der skal divideres med 3?

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. maj 2015 af mathon

#10

Sorry. Det var mig, der "sov" lidt:

Med alle længdemål i cm og alle volumenmål i cm³:

Volumen af suppeskål:
$V=\frac{1 }{3}\cdot h\cdot \left ( G+g+\sqrt{G\cdot g}\right )$

$V=\frac{1 }{3}\cdot 4{,}5\cdot \left ( 14^2+5^2+\sqrt{14^2\cdot 5^2} \right )=436{,}5$

hvoraf for halvt volumen
$\frac{436{,}5}{2}=\frac{1 }{3}\cdot (4{,}5-x)\cdot \left ( (14-2x)^2+5^2+\sqrt{(14-2x)^2\cdot 5^2} \right )$

$x=\Delta h=1{,}36098$

højde ved halvt volumen
4{,}5-1{,}36098=3{,}13902

Skriv et svar til: Suppeskåls rumfang

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.