Hvorfor putte differential af flere produktregler i ln patentes?

Hej jeg tror jeg er kommet til det rigtige svar nu på denne opgave:

Jeg har tjekket resultatet fra a'eren, med det fra svararket. Det er korrekt, det som jeg har fundet. Jeg er nu kommet til b'eren, som jeg nu ikke kan finde ud af:

b. Udregn h'(x) via relationen:

og resultat fra 1.a

Mit svarark til b'eren siger at svaret bare er resultat af 1.a altså g'(x) ganget med den udifferentierede funktion altså h(x).. Altså derved siger svararket at svaret på b'eren er:

Jeg kan dog bare ikke finde regneregel, som begrunder at dette er tilfældet.

Sæt n(x) = x + 1 og u(x) = (2x + 3)². Lad f(x) = e^xn(x)u(x).

Da er f '(x) = (e^x)' n(x) u(x) + e^x (n(x) u(x))' 

                 = (e^x)' n(x) u(x) + e^x (n '(x) u(x) + n(x) u '(x))

                 = e^x (n(x) u(x) + n '(x) u(x) + n(x) u '(x)).             (*)

Her er n '(x) = 1 og u '(x) = 4(2x + 3). Hvis man sætter ln() på hver side, giver

ln(f(x)) = x + ln(n(x)) + ln(u(x)). Vi differentierer mht. x på hver side, så giver

(ln(f(x)))' = 1 + 1/(x + 1) + 4/(2x + 3). Idet (ln(x))' = f '(x)/f(x), så giver

f '(x) = f(x)(1 + 1/(x + 1) + 4/(2x + 3)).                                  (**)

Bemærk at (*) og (**) er ens. Det er dog lettere at benytte (**) efter min mening.

Den normale regel siger:

Vi tager logarimen af produktet og differentierer:

Her bruger vi differentiation af en funktion (ln) af en funktion (f eller g):

Ganger man det med f(x)g(x), får man:

hvilket netop er den normale regel.

Prøv for en ordens skyld at undersøge, om det samme gælder for f(x)/g(x).

For en ordens skyld: Man putter ikke i en parentes, man sætter i parentes. Den utidige brug af putte på dansk kommer sikkert fra engelsk.