Matematik

Korrekt differentieret?

06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

Er følgende funktion korrekt differentieret?:

$f(x)=\frac{1}{x^2-1}\rightarrow f'(x)=(x^2-1)^-^1=(x^2)^-^1-1^-^1=x^-^2-1$

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. juli 2016 af Soeffi

#0

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-07-06 kl. 18.18.23.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. juli 2016 af Brusebad (Slettet)

Nej. Det ser også ud som om, at du bruger lighedstegnet forkert.
Du skriver

f(x) = 1/(x^2-1)

og bagefter skriver du

$f'(x) = (x^2-1)^{-1}}$

men de to udtryk er ens, så her siger du, at den afledede funktion er lig funktionen selv.
Hvis du f.eks. skriver
$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2-1)^{-1}$

så bliver din notation rigtig, men din differentiation er stadig forkert.
Du må ikke tage dit -1 ind i parentesen. Du skal differentiere som en sammensat funktion, dvs. bruge følgende formel

$(f(h(x)))' = f'(h(x))\cdot h'(x))$

og i dit tilfælde så er $f(y)=y^{-1}}$ og $h(x)=x^{2}-1$

Jeg undskylder for den dårlige notation med genbrug af f - mit f er ikke det samme som dit f. Dit f svarer til mit f(h(x)).

Hvis du følger formlen får du så

$f'(y) = \frac{d}{dx}y^{-1} = - y^{-2} \newline h'(x) = \frac{d}{dx} (x^{2}-1) = 2x \newline dvs. \break f'(h(x)) \cdot h'(x) = - (x^{2}-1)^{-2} \cdot 2x = - \frac{2x}{(x^2-1)}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. juli 2016 af mathon

Du har
$f(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{g(x)}\; \; \; \; \; \; \; x\neq\mp 1$ g(x)=x^2-1 $g{\, }'(x)=2x$

$f{\, }'(x)=\frac{-1}{g^{\,2}(x)}\cdot g{\, }'(x)$

$f{\, }'(x)=\frac{-1}{\left (x^{2} -1 \right )^2}\cdot 2x=\frac{-2x}{\left (x^{2} -1 \right )^2}$

Svar #4
06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Ahh. Tak skal I have. Men hvordan kan man generelt gennemskue, at der er tale om en sammensat funktion?

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. juli 2016 af Soeffi

#4... hvordan kan man generelt gennemskue, at der er tale om en sammensat funktion?

Der er følgende analytiske funktioner: exp(x), ln(x), sin(x), cos(x), tan(x), xⁿ, Disse kan ganges med et reelt tal, der kan lægges et reelt tal til dem. De funktoner man får ud af det kan igen lægges sammen. Alle disse kombinationer er usammensatte.

I en sammensat funkton har man taget en af de ovenstående funktioner og sat ind i stedet for x i en anden.

F.eks.

Usammensat: 3·exp(x) + 4·sin(x) + 1 (usikker på: 3·exp(2x) + 4·sin(x) + 1)

Sammensat: 3·exp(4·sin(x) + 2)

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. juli 2016 af Stats

(a + b)² ≠ a² + b²

dermed

(x² - 1)^-1 ≠ (x²)^-1 - 1^-1

Reglen fungere kun ved multiplikation

(a·b)² = a²·b²

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #7
06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Mange tak allesammen!

Svar #8
06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Jeg er stødt på et problem igen. Jeg kan tilsyneladende ikke differentiere denne korrekt:

$f(x)=\frac{x^-^2-1}{x}$

Jeg kan ikke forestille mig, at den er sammensat. Jeg har gjort følgende:

$f(x)=\frac{x^-^2-1}{x}=\frac{x^-^2}{x}*(-1)=x^-^3*(-1)=-x^-^3$

f'(x)=-3x^-^4

Det er bare forkert. Hvad har jeg her gjort galt?

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. juli 2016 af fosfor (Slettet)

Du skal bruge produktreglen på f(x) = (x^-2 - 1) * (1/x)

Brugbart svar (0)

Svar #10
06. juli 2016 af Brusebad (Slettet)

Din anden lighed gælder ikke. Der gælder derimod at

$\frac{x^{-2} - 1}{x} = \frac{x^{-2}}{x} - \frac{1}{x} = x^{-3} - x^{-1}$

som jo heldigvis også er rimelig nem at differentiere. Alternativt kan du gøre som foreslået i #9 og bruge produktreglen.

Svar #11
06. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#3 Men er der så tale om en sammensat funktion? Produktreglen kræver vel, at der er to funktioner, da den ser således ud:

h'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

Såfremt det er den samme, som du mener, naturligvis.

Brugbart svar (0)

Svar #12
06. juli 2016 af Brusebad (Slettet)

#11 jeg vil mene, at det er hurtigst at benytte den omskrivning jeg har foretaget i #10, men da der gælder

$\frac{x^{-2}-1}{x}= (x^{-2}-1)\cdot \frac{1}{x}$

så kan du betragte din funktions forskrift som et produkt af

$x^{-2}-1$

$\frac{1}{x}$

det er sådan, at du opnår de to "funktioner" som du kan bruge produktreglen på. Men som sagt, så tror jeg det er noget hurtigere at bruge omskrivning jeg har lavet i #10.

Som en sidenote, så findes der også en quotientregel, så slipper du helt for at omskrive.

Brugbart svar (0)

Svar #13
07. juli 2016 af Stats

#11

Du kan også anvende at

(x^-2 - 1)/x = (x^-2 - 1)·(1/x) = x^-3 - x^-1

(x^-3 - 1/x)' =(x^-3)' - (x^-1)' = -3x^-4 + x^-2

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #14
07. juli 2016 af mathon

hvor kvotientreglen for $x\neq0$
giver:
$\left ( \frac{x^{-2}-1}{x} \right ){}'=\frac{-2x^{-3}\cdot x-\left ( x^{-2}-1 \right )\cdot 1}{x^2}=\frac{-2x^{-2}-x^{-2}+1}{x^2}=\frac{-3x^{-2}+1}{x^2}=$

$-3x^{-4}+x^{-2}$

Brugbart svar (0)

Svar #15
07. juli 2016 af Soeffi

#0 f(x) kan både opfattes som sammensat og usammensat.

Usammensat: f(x) er 1 divideret med polynomiet x² - 1. Man bruger reglen om differentiation af en kvotient:

f(x) = 1/g(x) ⇒ f'(x) = [-g'(x)]/[g(x)]² = -2x/(x² - 1)².

Sammensat: f(x) = x^-1, g(x) = x² - 1. Kædereglen: [f(g(x))]' = g'(x)·f'(g(x)) = [(x² -1)]'·[(x² - 1)^-1]' = 2x·[-(x² - 1)^-2] = -2x/(x² - 1)².

Skriv et svar til: Korrekt differentieret?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.