Matematik

Tværsum og delelighed

26. september 2016 af BlackandBlue (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg er er lige kommet godt i gang med mit studie i matematik, men jeg sidder fast i en opgave som omhandler tværsum og delelighed.

(a) Vis at et naturligt tal er deleligt med 3, hvis og kun hvis dets tværsum er delelig med 3

(b) Vis, at et naturligt tal er deleligt med 9, hvis og kun hvis dets tværsum er delelig med 9

(c) Lad n være et naturligt. Lad m være et tal, der fremkommer ved, at du bytter rundt på cifrene i n. Vis, at n-m er et multiplum af 9

Opgaven forklarer derudover, at vi skal se på, at

a_i∈ {0,1,...,9}, og tallets tværsum er a_n+a_n-1+...+a₁+a₀

Det ville være rigtig dejligt med en hjælpende hånd. Da jeg er nybegynder, håber jeg at i kan forklare det med en passende niveau:)

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2016 af Eksperimentalfysikeren

45 = 4*10 + 5 = 4*(9+1) + 5 = 4*9 + 4 + 5.

Læg mærke til, at 4+5 er tværsummen og ledet 4*9 er deleligt med 9.

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. september 2016 af VandalS

Et tal a med n cifre a_i kan skrives som

$a = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot 10^i$ ,

hvor $a_i \in \{ 0, 1, ..., 9\}$ .

Her er et eksempel på, hvordan du kan benytte dette til at løse opgaven:

Antag, at a er delelig med 3. Så er

$a \equiv 0 \mod 3$ .

Indsæt den alternative form af a og vi får

$a = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot 10^i \Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot \left(10^i \mod 3 \right) \right \equiv 0 \mod 3 \\ \Leftrightarrow \sum_{i=0}^{n-1} a_i \cdot 1 = \sum_{i=0}^{n-1}a_i \equiv 0 \mod 3$ ,

hvor vi på en del af udtrykket har benyttet at modulo operationen er distributiv. Dette viser, at hvis et tal er kongruent med 0 modulo 3, så er tværsummen det også.

Så kan du selv prøve kræfter med resten :)

Svar #3
26. september 2016 af BlackandBlue (Slettet)

tak for hjælpen! god hjælp, for at jeg kan komme videre:)

Svar #4
27. september 2016 af BlackandBlue (Slettet)

Jeg sidder nu og kigger på delspørgsmål b. Den føles så nem, at jeg er helt i tvivl:) Jeg har indtil videre skrevet, at man kan bruge det samme som i delspørgsmål a), men er det så bare med at erstatte 3 med 9, og lave helt det samme bevis?

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. september 2016 af Eksperimentalfysikeren

Det er helt det samme. Faktisk er muligheden for at finde restklasser modulo 3 ved hjælp af tværsum et resultat af, at 3 går op i 9.

Skriv et svar til: Tværsum og delelighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.