Matematik

Cirkel og tangenter

24. december 2016 af DeepOcean - Niveau: A-niveau

Hej jeg sidder med den mystiske opgave som har taget meget meget tid . er der nogle der vil tage udfordringen og hjælpe lidt med

En cirkel har ligningen:

(x−4)² +(y−1) ²=2²

a) Du skal bestemme ligningerne for de tangenter til cirklen, der går gennem punktet (0,0) .

b) Du skal bestemme vinklen mellem de to tangenter

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. december 2016 af mathon

Når cirklen
er:
(x-4)^2+(y-1)^2=2^2
er tangent(er)
i cirkelpunktet $\left ( x_o,y_o \right )\! \! :$
(x_o-4)(x-4)+(y_o-1)(y-1)=2^2

dvs gennem (0 ,0)

(x_o-4)(0-4)+(y_o-1)(0-1)=2^2

y_0=-4x_o+13

Brugbart svar (1)

Svar #2
24. december 2016 af mathon

y_0=-4x_o+13 hvor (x_o,y_o) opfylder
cirklens ligning:
(x_o-4)^2+(-4x_o+13-1)^2=2^2

$x_o=\left\{\begin{matrix} \frac{2(26-\sqrt{13})}{17}\\ \frac{2(26+\sqrt{13})}{17} \end{matrix}\right.$

Svar #3
24. december 2016 af DeepOcean

det står i facitliste følgende tangentlinjer : y = 0,93 x og y = - 0,27 x og vinkel er 58,03

med din løsning tror jeg ikke vi får de nævnt ligninger !

Svar #4
24. december 2016 af DeepOcean

(x_o-4)(x-4)+(y_o-1)(y-1)=2^2

den linjen er det general form for tangenterne for en cirkel fordi jeg har kigget på forskellige bøger i matematik ,,kunne ikke finde sådan form,,!?

Brugbart svar (1)

Svar #5
24. december 2016 af mathon

$x_o=\left\{\begin{matrix} 2{,}63464\\ 3{,}48301 \end{matrix}\right.$ $y_o=\left\{\begin{matrix} 2{,}461436\\ -0{,}932024 \end{matrix}\right.$

tangenten gennem $\left ( 2{,}63464;2{,}461436 \right )$ og $\left ( 0;0 \right )$
har ligningen:
y=0{,}934259x

tangenten gennem $\left ( 3{,}48301;-0{,}932024 \right )$ og $\left ( 0;0 \right )$
har ligningen:
y=-0{,}267592x

Brugbart svar (1)

Svar #6
24. december 2016 af mathon

Vinklen $\varphi$ mellem tangenterne:
$\varphi =\tan^{-1}\left ( \frac{\left |a _2-a _1 \right |}{\left | 1+a_2a_1 \right |} \right )$

$\varphi =\tan^{-1}\left ( \frac{\left |-0{,}267592-0{,}934259 \right |}{\left | 1+(-0{,}267592)\cdot 0{,}934259 \right |} \right )=58{,}0343^\circ$

Svar #7
03. maj 2017 af DeepOcean

i #1

hvorfor sætter du 0,0 i cirkel lijnen ?? det punkt lægger jo ikke på cirkel ??

de tangenter går gennem 0,0 og ikke cirkel eller der er bare mig har misforstået opgaven ??

Hjælp Hjælp

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. maj 2017 af fosfor (Slettet)

#7 han sætter 0,0 ind i tangentligningen

Svar #9
03. maj 2017 af DeepOcean

men hvordan ser tangenligningen ud ? og hvor hældningstal..?

[(x0-4)(x-4)+(y0-1)(y-1)=2^2

(x0-4)(0-4)+(y0-1)(0-1)=2^2

???

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. maj 2017 af mathon

genlæs #5.

Brugbart svar (0)

Svar #11
03. maj 2017 af mathon

En cirkel med
ligningen:
$\small \left (x-a \right )^2+\left (y-b \right )^2=r^2$
har i punktet $\small (x_o,y_o)$
tangenten med
ligningen:
$\small (x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2$

Svar #12
04. maj 2017 af DeepOcean

hvordan kommer du til at tangentligningen har forskrift (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y0-b) = r²

hvordan har du fundet den ?

det er der også jeg ikke forstår at hvorfor du sætter 0,0 i cirkel ligningen punkt 0,0 er jo ikke på cirkel

men tangenten går gennem 0,0 ?? i svar #1

jeg er helt blank ??!!

Brugbart svar (1)

Svar #13
04. maj 2017 af mathon

$\small (0,0)$ indsættes ikke i cirklens ligning.

Brugbart svar (1)

Svar #14
04. maj 2017 af mathon

Cirkelligning:
$\small \left (x-a \right )(x-a) +\left (y-b \right )(y-b) =r^2$

Tangentligningen fremkommer
af:
$\small \overrightarrow{CP_o}\cdot\overrightarrow{ P_oP}=0$ hvor C(a,b) er cirkelcentrum, P_o(x_o,y_o) er røringspunktet og P(x,y) er
et variabelt punkt på tangenten:

$\small \begin{pmatrix} x_o-a\\y_o-b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\ y-y_o \end{pmatrix}=0$

$\small \left (x_o-a \right )\left (x-x_o \right )+\left (y_o-b \right )\left (y-y_o \right )=0$

$\small \left (x_o-a \right )\left ((x-a)-(x_o-a) \right )+\left (y_o-b \right )\left ((y-b)-(y_o-b) \right )=0$

$\small \left (x_o-a \right )(x-a)-(x_o-a)^2 +\left (y_o-b \right )(y-b)-(y_o-b)^2 =0$

$\small \left (x_o-a \right )(x-a) +\left (y_o-b \right )(y-b) =(x_o-a)^2+(y_o-b)^2$

$\small \left (x_o-a \right )(x-a) +\left (y_o-b \right )(y-b) =r^2$

Svar #15
05. maj 2017 af DeepOcean

1000 Tak for en god forklaring ...i #14 ..

Skriv et svar til: Cirkel og tangenter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.