Matematik

Faktorisering af polynomier/funktioner i 2. grad og højere

16. oktober 2017 af tømrerpølsen - Niveau: B-niveau

Hej alle.

Er ved at skrive emneopgave om polynomier og er ved at beskrive nulreglen og faktorisering.

Jeg er gået lidt i stå ved faktorisering, synes ikke det er særlig godt forklaret i bogen og google hjælper kun med formler og resultater. Men hvorfor er det man bruger faktorisering? Jeg er godt med på formlerne, men mangler lidt en "spiselig" forklaring på hvad det er og hvornår/hvorfor det bruges. Er måden man gør det på f.eks. det samme i 3. gradspolynomier, som i 2. grads?


Brugbart svar (1)

Svar #1
16. oktober 2017 af Mathias7878

Læs

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/andengradspolynomium-og-ligning/faktorisering-og-nulreglen

- - -

 

 


Brugbart svar (2)

Svar #2
16. oktober 2017 af SuneChr

- Faktorisering benyttes ved evt. forkortning af en polynomiumsbrøk.
- Rødder aflæses umiddelbart, når polynomiet er faktoriseret.
- Reglen om polynomiets evt. rationale rødder.
- Polynomiers division.
 


Brugbart svar (0)

Svar #3
16. oktober 2017 af Craoder (Slettet)

Hvis du har haft om grænseværdier, er dette også et perfekt eksempel på, hvornår faktorisering er brugbar. Det kan benyttes til bestemmelse af grænseværdier for bestemte udtryk. F.eks. følgende:

\lim_{x\rightarrow 5}\frac{x^2-25}{3x^2-16x+5}

Hvad gør man? Man ikke umiddelbart proppe værdien 5 ind og bestemme grænseværdien sådan. Da det bare vil føre til:

\frac{0}{0}

Ved at faktorisere både tæller og nævner, kan du få en håndterbar grænseværdi:

\frac{(x+5)(x-5)}{(x-5)(3x-1)}

Vi ser, at faktorerne (x-5) både findes i tæller og nævner. Derfor går de ud med hinanden, og vi står tilbage med:

\frac{(x+5)}{(3x-1)}

Hvilket vi nemt kan bestemme grænseværdien af, for x gående mod 5!

\lim_{x\rightarrow 5}\frac{(x+5)}{(3x-1)}=\frac{5+5}{15-1}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}

Det er mit bud på et konkret eksempel for brugen af faktorisering. Det giver selvfølgelig kun mening at skrive om, hvis det er relevant. :-) (Umiddelbart vil jeg mene, at det SuneChr siger, er meget gode eksempler, som i den grad også er relevante!)


Brugbart svar (0)

Svar #4
17. oktober 2017 af hesch (Slettet)

#0:  Ad:

Men hvorfor er det man bruger faktorisering? Jeg er godt med på formlerne, men mangler lidt en "spiselig" forklaring på hvad det er og hvornår/hvorfor det bruges.

Et eksempel med intensiv brug:

Ved design af regulatorer for processer og maskiner anvender man lukkede reguleringssløjfer, ofte flere indeni hinanden. I hver sløjfe indgår varierende forstærkninger og tidskonstanter. Ved reduktion af disse sløjfer kan man danne en karakterligning for systemet, med et n'te ordens polynomium = 0, hvor n sagtens kan være 8 eller mere.

Man kan nu variere forskellige forstærkninger og tidskonstanter, hvorved karakterligningen ændrer sig og dermed placeringen af dens rødder i en kompleks talplan. Man tegner nu kurver ( rodkurver ), der følger sporet af disse vandrende rødder. Ud fra disse kurver kan ses, indenfor hvilke variationsgrænser af fx forstærkning, reguleringen vil være stabil. Finder man grænserne for snævre, må man ændre regulatorens design.

Nu er det jo ikke "håndarbejde" at beregne måske 8 rødder under flere hundrede forskellige omstændigheder, for at få tilstrækkeligt detaljerede rodkurver. Man har sin computer til det, men nogen skal jo vide hvordan det gøres, for at kunne skrive programmerne til computeren.


Svar #5
17. oktober 2017 af tømrerpølsen

Okay, webmatematik var et godt sted at starte, og tak til jer andre også. Har dog ikke haft om grænseværdier endnu, så det er lidt for kryptisk til mig lige nu ;)

Tager lidt udgangspunkt i sunechr's kommentar, og har måske stirret mig blind på det de sidste par dage. Har bare lige lidt svært ved at få hovedet helt rundt om det. Men hvis man faktoriserer en 2. gradsfunktion når man HAR fundet rødderne, vil det så ikke sige, man først har brugt diskriminanten og så brugt nulpunktsformlen? Men hvorfor skal man så faktoriserere? Altså jeg mener, man har jo allerede fundet punkterne? Beklager hvis jeg lyder lidt tungnem her.. Jeg har bare lidt svært ved at gennemskue hvornår man bedst bruger faktorisering til noget, ift f.eks. 2. grads og 3. gradspolynomier.


Brugbart svar (0)

Svar #6
17. oktober 2017 af Craoder (Slettet)

Faktorisering kan være smart, når man ikke i forvejen kender rødderne. Jeg kan personligt ikke se pointen i at faktorisere et andengradspolynomium, hvis du kender rødderne, som du jo selv siger.

Det kan fungere som en hurtig måde at finde rødderne for mange n'te grads polynomier. Det kan især være en fordel at benytte sig af faktorisering af 3. gradspolynomier. Når vi skal finde rødderne for 2. gradspolynomier, har vi en dejlig simpel formel:

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

For 3. gradspolynomier findes der da også en formel for bestemmelse af rødder, men den er knapt så nydelig:

Hvis vi har et 3. gradspolynomium på formen:

ax^3+bx^2+cx+d=0

Findes følgende formel til bestemmelse af rødder. Det funker ikke rigtigt, vel?

x=\sqrt[3]{(\frac{-b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})+\sqrt{(\frac{-b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}+\sqrt[3]{(\frac{-b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})-\sqrt{(\frac{-b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})^2+(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})^3}}-\frac{b}{3a}

Kan du forestille dig at skulle bestemme rødderne for

x^3-6x+4=0

ved brug af ovenstående formel? Det vil jeg i hvert fald ikke. Det er så her faktorisering gør arbejdet meget nemmere! Man kan med den korrekte strategi opnå:

(x-2)(x^2+2x-2)=0

Nu vil jeg mene, at det er nemmere at håndtere. Du skal finde de værdier for x, der gør hele venstre side lig 0. Det første der falder mig i øjnene er da, at (x-2) er lig nul, hvis x = 2. Allerede der har vi vores første rod. Nu kan du ved at bestemme rødderne for andengradspolynomiet, x^2+2x-2, bestemme de resterende rødder. Så vi sætter værdierne ind i x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, og finder ud af, at de resterende rødder er x = -2,73 og x = 0,73. Hvis du spørger mig er det pænere end den lange formel, jeg nævnte tidligere. Det er måske ikke så overskueligt som bestemmelse af rødder for 2. gradspolynomier - men det kan vi desværre heller ikke forvente af matematikken ;) Generelt gælder det, at 2. gradspolynomier er overskuelige at faktorisere. Derfor fungerer faktorisering som en simpel måde for bestemmelse af rødder.

Hvis jeg forvirrer dig mere end nødvendigt, skal du altså sige til :-)


Skriv et svar til: Faktorisering af polynomier/funktioner i 2. grad og højere

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.