Alternativ bevis for isomorfien mellem to endelig-dimensionale vektorrum

Hvis du har to vektorrum V og W over enten R eller C med samme dimension kan du så ikke bare lave en funktion φ : V → W der tager basiselementer for V og sender i basiselementer for W? Det tænker jeg i hvert fald umiddelbart ville virke, i.e. at det er en bijektiv lineær afbildning.

At dim(V') = dim(V) i det endelig dimensionale tilfælde kan du se mere om her:
https://math.stackexchange.com/questions/996970/dual-space-of-a-finite-dimensional-normed-space 

men hvordan det lige relaterer sig til at V og W er isomorfe ved jeg ikke lige.

Lad U og V være to vektorrum over det samme legeme K. Hvis T : U → V er en invertibel lineær afbildning, kaldes T en isomorfi. I denne situation siges U og V at være isomorfe.

Overbevis dig selv, at i) Hvis T : U → V er en invertibel lineær afbildning, så er T^-1 : V → U også det. ii) Hvis T : U → V er en lineær afbildning, så er T invertibel hvis og kun hvis T er bijektiv. Ud fra disse punkter, kan man konkludere, at hvis T er en isomorfi, så er T^-1 også det.

Lemma 1: Hvis T : U → V er en lineær afbildning, så er T injektiv hvis og kun hvis {u ∈ U | T(u) = 0} = {0}.

Lemma 2: Lad V være et n-dimensionalt vektorrum over K. Da er V og Kⁿ isomorfe.

Bevis: Lad X := {x₁, .., x_n} være en basis for V. Definer T: Kⁿ → V ved T(α₁, .., α_n) = ∑_i α_ix_i. Afbildningen T er veldefineret (hvorfor?). Det er let at vise, at T er lineær. Hvis a_i = 0 for alle i, vil T(α₁, .., α_n) = 0. Den omvendte retning gælder også, da X er lineært uafhængigt. Derfor må T være injektiv jf. Lemma 1. Lad v ∈ V være givet. Da X udspænder V, findes β₁, ..., β_n ∈ K ådan at v = ∑_i β_ix_i. Dette viser, at T(β₁, ..., β_n) = v, så T er surjektiv. QED.

Lad nu U og V være n-dimensionale. Ifølge Lemma 2, findes to isomorfier T₁ : U → Kⁿ og T₂ : Kⁿ → V. Overbevis dig selv, at den sammensatte afbildning T₂T₁ : U → V er en isomorfi. Dette viser nemlig, at U og V er isomorfe.