Matematik

Pythagoræisk tripler - hjælp til del af bevis

19. februar 2018 af Nataschaaa98 - Niveau: B-niveau

Hej :)

Jeg skal skrive SSO om pythagoræiske tripler, men er stødt på to detaljer i beviset, som jeg håber nogle kan forklare. :)

1.

Jeg skal bevise at a = 2mn, b = m2 og c = m2+n2, og som en del af beviset divideres ligningen a2 = (c+b)(c-b) med 4, og ligningen hedder derfor (1/2a2) = 1/2(c+b)*1/2(c-b)

Jeg forstår ikke, hvorfor a2 ender sådan, fremfor som de andre. Er der en regel om dette, eller?

2. 

I beviset går man udfra, at m>0 og n>0 - men hvorfor? Jeg skal forklare hvorfor man ikke regner med et negativt tal, og jeg tænker det er fordi det ikke opfylder reglen, men hvordan kan det illustreres?

Tak på forhånd. :)


Brugbart svar (2)

Svar #1
19. februar 2018 af mathon

\small \textup{Det er:}
                 \small a=m^2-n^2             \small b=2\cdot m\cdot n             \small c=m^2+n^2      

\small m,n\in\mathbb{N}     \small m>n

På Pythagoras tid kendte man ikke til brøker eller decimalbrøker, så man var henvist til kun at arbejde med hele positive tal (naturlige tal). Derfor var man meget interesseret i hele tal, der opfyldte Pythagoras sætning. Tre hele tal, der opfylder Pythagoras sætning, kaldes for et pythagoræisk trippel

...

\small \textup{Uddrag af }
https://sites.google.com/a/oegnet.dk/e-mat-dk-demo/1-hvad-er-matematik/1-2-matematisk-raesonnement/1-2-1-pythagoraeiske-tripler


Brugbart svar (2)

Svar #2
19. februar 2018 af mathon

Ved indsættelse ser du:

        \small a^2+b^2                                                                                                                         \small c^2

        \small \left ( m^2-n^2 \right )^2+(2\cdot m\cdot m)^2                                                                                \small \left ( m^2+n^2 \right )^2

         \small \small m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2\cdot n^2=m^4+n^4+2\cdot m^2\cdot n^2                                \small m^4+n^4+2\cdot m^2\cdot n^2

                      


Brugbart svar (1)

Svar #3
19. februar 2018 af mathon

\small \small \textup{Hvis enten m eller n er lige, har (2}\cdot m\cdot n)\textup{ 4 som divisor .}


Brugbart svar (0)

Svar #4
19. februar 2018 af SådanDa

a^2/4=a^2/2^2=(a/2)^2

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. februar 2018 af AMelev

Ja, men har du så ikke sat parentesen forkert #0?
Skulle der ikke stå (½a)2 i stedet for (½a2


Svar #6
19. februar 2018 af Nataschaaa98

#5

Jo, min fejl - det gik lidt stærkt med at få skrevet det ind.

Mange tak for hjælpen til alle! Dog mangler jeg en forklaring for, hvorfor det ender med at se sådan ud, ved division med 4?

Brugbart svar (1)

Svar #7
19. februar 2018 af AMelev

Hvis du kører den anden vej, kan du måske bedre se det.

 (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{1}{2}\cdot (c+b)\cdot \frac{1}{2}\cdot (c-b)\Leftrightarrow \frac{1}{4}a^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot (c+b)\cdot (c-b)\Leftrightarrow
\frac{1}{4}a^2=\frac{1}{4}\cdot (c+b)\cdot (c-b)\Leftrightarrow a^2=(c+b)\cdot (c-b)


Svar #8
19. februar 2018 af Nataschaaa98

#7 Tak fordi du gider bruge tid på at forklare det så detaljeret. Jeg mangler bare at forstå, hvordan 1/4a^2 bliver til (1/2a)^2? Og hvorfor 2. Potensen nu sættes udenfor parentesen?

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. februar 2018 af Mathias7878

..

  \small \frac{1}{4a^2} =( \frac{1}{2a})^2 = \frac{1^2}{(2a)^2} = \frac{1}{4a^2}

da man anvender at:

  \small (\frac{a}{b})^c = \frac{a^c}{b^c}

samt

  \small (a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n

- - -

 

 


Svar #10
19. februar 2018 af Nataschaaa98

Kan jeg få dig til at tage det trin for trin, med en tilhørende forklaring? Det gider simpelthen ikke sætte sig fast i min hjerne, hvorfor det er sådan. :(

Svar #11
19. februar 2018 af Nataschaaa98

#1 

Jeg dobbelttjekkede, og jeg har altså skrevet sætningen rigtigt, med undtagelse af en tastefejl. Den sætning jeg skal bevise hedder a=2mn , b=m^2 -n^2 ,c = m^2 + n^2,

og ikke hvad du har skrevet. :) Jeg går udfra beviset i bogen "Talteori" af Jens Carstensen, og har også vedhæftet et billede af sætningen. :)


Brugbart svar (1)

Svar #12
19. februar 2018 af AMelev

#8&10 (\frac{1}{2}\cdot a)^2=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{1}{2}\cdot a =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot a= (\frac{1}{2})^2\cdot a^2=(\frac{1}{4})\cdot a^2
giver det mere mening?

#11 Om du skriver a = 2mn og b = m2-n2 eller b = 2mn og a = m2-n2 betyder ikke noget for pythagoras formel  a2 + b2 = c2, da der kan byttes rundt til b2 + a2 = c2


Svar #13
20. februar 2018 af Nataschaaa98

#12 Det er perfekt! Mange tak for hjælpen!


Skriv et svar til: Pythagoræisk tripler - hjælp til del af bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.