Matematik

Finde fællesmængde af 3 planer

16. oktober 2018 af sebkn - Niveau: Universitet/Videregående

Hey.

Får givet en opgave hvor jeg for givet 3 følgende planer:

α1=x-y+(a-1)*z=a

α2=x+(a-1)*y=0

α3=ax-ay+(a-1)*z=0

Ved at 2 er løsningsmængde(ved ikke hvad jeg kan bruge det til)

Jeg skal finde den værdi, af a for hvor 3 tre planers fællesmængde er en ret linje, og give en parameterfremstilling for linjen. Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. oktober 2018 af peter lind

se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1854117

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} &\alpha_2\,:\quad x+(a-1)y = 0 &&\Leftrightarrow\quad x = (1-a)y \\ &\alpha_3\,:\quad \underbrace{ax -ay}_{-a^2y} + (a-1)z = 0 &&\Rightarrow\quad y = \frac{a-1}{a^2}z \\ &\alpha_1\,:\quad x-y+(a-1)z = a &&\Rightarrow\quad z =\bigg(\frac{a}{a-1}\bigg)^2 \end{align*}$

Hvorfor at fælles mængden for de tre planer er givet ved

$\begin{align*} \Big\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid (x,y,z) = \Big(-1,\tfrac{1}{a-1},\big(\tfrac{a}{a-1}\big)^2\Big)\Big\} \end{align*}$

såfremt at $a\neq1$ og fællesmænden er tom $\emptyset$ såfremt at $a=1$ .

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. oktober 2018 af peter lind

du kan ikke konkluder at for a=1 er fællesmængden tom. Det kræver en særskilt udersøgelse. Det er en mulighed at der er uendelige mange løsninger. for eks. at fællesmængden er en ret linje eller det bliver samme plan

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#3
du kan ikke konkluder at for a=1 er fællesmængden tom. Det kræver en særskilt udersøgelse. Det er en mulighed at der er uendelige mange løsninger. for eks. at fællesmængden er en ret linje eller det bliver samme plan

Det er korrekt.

Jeg tog det som en triviel observation at fællesmængden er tom såfremt at $a=1$ , eftersom at planen $\alpha_1$ trivielt fremkommer ved en (ikke entydig) parallelforskydning af planen $\alpha_3$ .

Skriv et svar til: Finde fællesmængde af 3 planer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.