Matematik

Afstand mellem 2 linjer i rummet

19. oktober 2018 af lausen01 - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg sidder med et spørgsmål i en aflevering omkring vektorer i rummet, hvor spørgsmålet lyder:

"Beregn afstanden mellen linjerne l og m"

Jeg får givet informationerne:

Linje l: retningsvektor = 1, -3, 7 og går igennem punktet P (2, 2, 1/3)

Linje m: Går igennem punkterne A (1, 4, -9) og B (0, 1, -6)

Hvordan løser jeg opgaven med de givne informationer?

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober 2018 af mathon

$\small \begin{array}{lrcll} \textup{N\aa r }P_o\textup{ er et punkt p\aa \ linjen l med retningsvektor }\overrightarrow{r}\\ \textup{er afstanden til punktet P}&\textup{dist(l,P(x,y,z))}&=&\frac{\left | \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{P_oP} \right |}{\left | \overrightarrow{r} \right |} \\ \end{array}$

Svar #2
19. oktober 2018 af lausen01

Men #1 det er afstanden til linje m jeg skal finde?

Svar #3
19. oktober 2018 af lausen01

#1
$\small \begin{array}{lrcll} \textup{N\aa r }P_o\textup{ er et punkt p\aa \ linjen l med retningsvektor }\overrightarrow{r}\\ \textup{er afstanden til punktet P}&\textup{dist(l,P(x,y,z))}&=&\frac{\left | \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{P_oP} \right |}{\left | \overrightarrow{r} \right |} \\ \end{array}$

Skal jeg så finde afstanden til hvert punkt (A & B)?

Brugbart svar (2)

Svar #4
19. oktober 2018 af mathon

Punktet P(x,y,z) ligger på m.

Brugbart svar (1)

Svar #5
19. oktober 2018 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lrcll} \textup{N\aa r }P_o\left(2,2,\tfrac{1}{3}\right)\textup{ er et punkt p\aa \ linjen l med retningsvektor }\begin{pmatrix} 1\\- 3 \\ 7 \end{pmatrix}\\ \textup{er afstanden til punktet B}(0,1,\tfrac{1}{3}), \textup{som ligger p\aa \ m}&\textup{dist(l,B(0,1,-6))}&=&\frac{\left | \begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 7 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0-2\\1-2 \\ -6-\tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \right |}{\sqrt{1+(-3)^2+7^2}} \\ \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
19. oktober 2018 af mathon

korrektion:
$\small r_1=\begin{pmatrix} 1\\ -3 \\ 7 \end{pmatrix}$ $\small r_m=\begin{pmatrix} 0-1\\ 1-4 \\ -6-(-9) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\-3 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{n}=\overrightarrow{r_{1}}\times\overrightarrow{r_2}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \\ 7 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -1\\-3 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12\\-10 \\ -6 \end{pmatrix}$

Den korteste afstand mellem l og m: $\small dist(l,m)=$ $\small \frac{\begin{pmatrix} 12\\-10 \\ -6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1 \\ -\tfrac{19}{3} \end{pmatrix}}{\sqrt{12^2+10^2+6^2}}$

Skriv et svar til: Afstand mellem 2 linjer i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.