Matematik

Bevis at vektorproduktet af to parallelle vektorer er nul

09. december 2018 af hejmedjer1239 - Niveau: A-niveau

Jeg har gjort følgende.

2 parallele vektorer a og b. Vektor b er større end a, derfor siger jeg t*a, så vektor a bliver = vektor b.

Derefter kan jeg sige vektor a=b, og krydse vektor b med vektor b, og det vil give 0. Er det korrekt bevist?


Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2018 af oppenede

Lad definitionen af parallelle vektorer være, at der findes et tal t ≠ 0, så b = t*a.

Derfor bliver krydsproduktet: 
   a × b = a × t*a
            = ( ay·(az t) - az·(ay t)  ,  az·(ax t) - ax·(az t)  ,  ax·(ay t) - ay·(ax t)  )
            = (0, 0, 0)

Tal kan være større end hinanden, men om vektorer siger man "b er længere end a".
Men det er irrelevant hvilken der er længst, fordi idet  b = t*a  gælder, så gælder også  a = t-1 * b


Svar #2
09. december 2018 af hejmedjer1239

#1

Lad definitionen af parallelle vektorer være, at der findes et tal t, så b = t*a.

Derfor bliver krydsproduktet:
   a × b = a × t*a
            = ( ay·(az t) - az·(ay t)  ,  az·(ax t) - ax·(az t)  ,  ax·(ay t) - ay·(ax t)  )
            = (0, 0, 0)

Er det ikke det samme hvis man siger b x t*b?


Brugbart svar (1)

Svar #3
09. december 2018 af oppenede

#2 Når a og b er parallelle så findes et tal t ≠ 0, så a = t*b.

Dermed er
    b × a = b × t*b
hvilket fører til det samme.


Brugbart svar (1)

Svar #4
09. december 2018 af ringstedLC

Vektorproduktet kan også være skalarproduktet, hvilket passer bedre med overskriften:

\begin{align*} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}&= \overrightarrow{a} \cdot \left ( t\cdot \overrightarrow{a} \right ) \\ \overrightarrow{a} \left | \right | t\cdot \overrightarrow{a}&\Rightarrow \overrightarrow{a} \cdot \widehat{t\cdot \overrightarrow{a}} = 0 \\ &= a_1 \cdot t\cdot (-a_2)+a_2 \cdot t\cdot a_1=0 \\ \end{align*}


Skriv et svar til: Bevis at vektorproduktet af to parallelle vektorer er nul

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.