Matematik

Supremum af en mængde i forbindelse med en stykvis funktion

10. januar kl. 19:14 af YesMe - Niveau: Universitet/Videregående

Definer f:RR ved

f(x)=\begin{cases} 1 & \text{ for } x<1 \\ 3 x-1 & \text{ for } x\geq 1 \end{cases}

Hvordan bestemmer man sup {x·p - f(x) | x ∈ R} for alle p ∈ R? Når jeg tjekker i tilfældene x < 1 og x ≥ 1, giver denne supremum 1.


Svar #1
11. januar kl. 15:57 af YesMe

Sidder stadig fast i det her problem. Mangler jeg at informlere flere oplysninger?


Brugbart svar (1)

Svar #2
11. januar kl. 16:54 af oppenede

Du har en stykvis lineær funktion med diskontinuitet i x=1.

Hældningerne er p og p-3, og hvis disse har samme fortegn, så vokser differensen ligeså meget det skal være til den ene eller anden side, hvorfor supremet er uendligt i de tilfælde.


Svar #3
11. januar kl. 17:07 af YesMe

Tak for svaret. Kan du forklare mig hvor du har p og p - 3 fra?


Brugbart svar (1)

Svar #4
11. januar kl. 17:18 af oppenede

Hvis x ≥ 1  så er x·p - f(x) = x·p - 3x + 1 = (p-3)x + 1


Svar #5
11. januar kl. 17:44 af YesMe

Det er meningen, at supremum skal være endelig. Vi arbejder på en opgave omhandlende Legendres transformation. Legendres transform af en funktion f:RR, betegnes f*, er defineret ved

f*(p) = sup{x·p - f(x) | x ∈ R} for alle p i R,

hvor denne supremum på højre side er endelig. Jeg har arbejdet med a). Sidder fast med b).

Prop.png

Vedhæftet fil:Prop.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. januar kl. 18:04 af oppenede

Supremet er endeligt hvis den første hældning er positiv og den efterfølgende er negativ.

Supremet er i så fald maximum af grænseværdierne fra højre og venstre i diskontinuiteten.


Brugbart svar (0)

Svar #7
11. januar kl. 18:44 af AskTheAfghan

#5     b) Sæt A = {xp - f(x) | x < 1}, B = {xp - f(x) | x ≥ 1} og C = A ∪ B. Der ses, at A er opadtil begrænset for p ≥ 0, og at B er opadtil begrænset for p ≥ 3. Derfor må C være opadtil begrænset for p ≥ 3. Definerer man g(x) := xp - f(x), er g voksende på R for alle p ≥ 3, så må f*(3) = 1.


Skriv et svar til: Supremum af en mængde i forbindelse med en stykvis funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.