Matematik

Funktionen der er tættest på en specifik funktion mht. normen i Hilbertrummet L_2

15. januar 2019 af YesMe - Niveau: Universitet/Videregående

Udvidelse til tråden. Lad g  ∈ L2([-1,1]) være givet ved g(x) = 1 for x ∈[0,1] og g(x) = 0 for x ∈[-1,0). Hvordan bestemmer man funktionen i U, der er tættest på g mht. normen på H?


Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2019 af oppenede

Hvis normen på H er induceret af et indre produkt (dvs. har formen \small \langle f,f\rangle^{1/2} , hvor \small \langle\cdot,\cdot\rangle er et indre produkt),
så vil projektionen PH(g) af g på H være funktionen med minimal afstand til g, dvs.   PH(g) = argminf ||g - f||H


Svar #2
15. januar 2019 af YesMe

#1 Ja til den første linje. Det giver god mening med projektionen, men jeg har ikke set definitionen før, altså hvad er argminf?


Brugbart svar (0)

Svar #3
15. januar 2019 af oppenede

Se https://en.wikipedia.org/wiki/Arg_max#Arg_min

PH(g) = argminf∈H ||g - f||H    er bare en ligning der gælder, ikke en definition.

argminf∈H Q(f)  betyder man tager den funktion i rummet H, som minimerer Q


Svar #4
15. januar 2019 af YesMe

#3    dvs. argminp || g - p|| betegner den mindste af alle funktioner p i en mængde sådan at normen || g - p || bliver mindst muligt?


Svar #5
15. januar 2019 af YesMe

#3 Okay, så ikke du opdaterede dit svar. Når der står i opgaven "bestem funktionen i U, der er tættest på ...", betyder det ikke, at vi skal kigge på funktioner der tilhører U := span{f1, f2, f3, f4} i stedet for H? Altså, bliver svaret ikke PU(g) = argminp∈U || g - p ||?

Jeg har andet sidste spørgsmål. Hvor godt kan g approximeres, altså hvad er norm-distancen af g til U?


Skriv et svar til: Funktionen der er tættest på en specifik funktion mht. normen i Hilbertrummet L_2

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.