Matematik

Integration ved substitution.

21. februar 2019 af Kraes4 - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg skal integrere disse ved substitution, men jeg kan forstå at jeg skal lede efter en af disse der når den differentieret vil blive til den anden for at gøre det nemmere for mig at erstatte en af dem med u, men synes ikke nogle af disse vil blive til den anden når de differentieres?

Er der en der kan fortælle mig hvilken retning jeg skal med disse?
Tak.

Vedhæftet fil: integre.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. februar 2019 af oppenede

1) Gang med 3 inde i integralet og divider med 3 uden for:
$\int(3x+12)^8dx=\frac{1}{3}\int\underset{g'(x)}{\underbrace{3}}(\underset{g(x)}{\underbrace{3x+12}})^8dx$

2) Gang med 3 inde i integralet og divider med 3 uden for:
$\frac{1}{3}\int\frac{3x^2}{x^3+5}dx =\frac{1}{3}\int \underset{g'(x)}{\underbrace{3x^2}}\frac{1}{\underset{g(x)}{\underbrace{x^3+5}}} dx$

5) Del brøken op først:
$\\\int\frac{x+1}{x+2}dx=\int\frac{x+2-1}{x+2}dx= \int\left(\frac{x+2}{x+2}-\frac{1}{x+2}\right)dx= \\\int\left(1-\frac{1}{x+2}\right)dx=\int 1 dx-\int\frac{1}{x+2}dx$

g'(x) skal altid være faktor yderst i integranden, dvs. den skal være ganget på resten.

Svar #2
21. februar 2019 af Kraes4

Men der har du da ikke brugt substitution oppenede?
Jeg har fået det til at den indre funktion er 3x+12.

hvis jeg kalder den u, og differentierer u med hensyn til x får jeg du/dx = 3.

så isolerer jeg dx og får dx = dt/3

så skal jeg integrere udtrykket (u)^8 dt/3

og så gør jeg lidt kold her?
Jeg integrer vel dette til 1/9 u^9, men hvad gør jeg med dt/3?

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. februar 2019 af mathon

1.
$\small \small \int (3x+12)^8\mathrm{d}x$ $\small \textup{s\ae t}$
$\small u=3x+12\qquad\textup{og dermed}\qquad \tfrac{1}{3}\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$

$\small \int (3x+12)^8\mathrm{d}x=\tfrac{1}{3}\int u^8\mathrm{d}u=\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{9}u^9+k=\tfrac{1}{27}\cdot \left (3x+12 \right )^9+k$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. februar 2019 af mathon

$\small \int \frac{x^2}{x^3+5}\mathrm{d}x$ $\small \textup{s\ae t}$
$\small u=x^3+5\qquad\textup{og dermed}\qquad \tfrac{1}{3}\mathrm{d}u=x^2\mathrm{d}x$

$\small \small \int \frac{x^2}{x^3+5}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x^3+5}x^2\mathrm{d}x=\tfrac{1}{3}\cdot \int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=\tfrac{1}{3}\ln\left | u\right |+k=\tfrac{1}{3}\ln\left | x^3+5 \right |+k$

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. februar 2019 af mathon

   $\small \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)+4}\mathrm{d}x$
       $\small \textup{s\ae t}$
      $\small u=\cos(x)+4>0\qquad\textup{og dermed}\qquad -\mathrm{d}u=\sin(x)\mathrm{d}x$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)+4}\mathrm{d}x=\small \int \frac{1}{\cos(x)+4}\sin(x)\mathrm{d}x=\small -\int \frac{1}{u}\mathrm{d}u=-\ln(u)+k=-\ln(\cos(x)+4)+k$

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. februar 2019 af mathon

$\small \small \int x^2\cdot e^{x^3}\mathrm{d}x$

$\small \textup{s\ae t}$
$\small u=x^3\qquad\textup{og dermed}\qquad \tfrac{1}{3}\mathrm{d}u=x^2\mathrm{d}x$

$\small \small \int x^2\cdot e^{x^3}\mathrm{d}x= \int e^{x^3}x^2\mathrm{d}x= \tfrac{1}{3}\cdot \int e^{u}\mathrm{d}u=\tfrac{1}{3}\cdot e^u+k=\tfrac{1}{3}e^{x^3}+k$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. februar 2019 af mathon

$\small \small \int \frac{x+1}{x+2}\mathrm{d}x= \int \frac{(x+2)-1}{x+2}\mathrm{d}x= \int\left (1 -\frac{1}{x+2} \right )\mathrm{d}x$

$\small \textup{s\ae t}$
$\small u=x+2\qquad\textup{og dermed}\qquad \mathrm{d}u=\mathrm{d}x$

$\small \int\left (1 -\frac{1}{x+2} \right )\mathrm{d}x=\int\left (1 -\frac{1}{u} \right )\mathrm{d}u=u-\ln(|u|)+k_1=x-\ln(|x+2|)+k$

Svar #8
21. februar 2019 af Kraes4

Tak mathon. Kigger lige på dem senere, men har helt sikkert nogle opfølgende spørgsmål.
Forstår slet ikke det der med at betrage du/dx som en brøk og så sætte den ind og integrere den.

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. februar 2019 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\textup{ er en differentialkvotient, hvilket vil sige resultatet af en division}$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\Leftrightarrow \mathrm{d} y=a\cdot \mathrm{d}x$

Svar #10
21. februar 2019 af Kraes4

Okay hvis vi tager den fra den første af, den du har postet i #3.

Hvordan ender 3x+12 med at være 1/3du = dx?

Det skal læses som at vi differentierer u med hensyn til x. men det må da ende med at være 3?

altså, vi differentiere 3x+12, og det giver vel 3?

Så må man godt bare gange du med en 1/3 så dx ender med at være 1?

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. februar 2019 af oppenede

#2
Men der har du da ikke brugt substitution oppenede?
Jeg har fået det til at den indre funktion er 3x+12.

hvis jeg kalder den u, og differentierer u med hensyn til x får jeg du/dx = 3.

så isolerer jeg dx og får dx = dt/3

Hvis du betragter den afledede du/dx som brøk og isolerer dx, så giver det ikke dx = dt/3, men:

du/dx = 3
du = 3dx <- gang med dx på begge sider
du/3 = dx <- divider med 3 på begge sider

Svar #12
21. februar 2019 af Kraes4

Okay, det forstår jeg.

Men lad os lige tage den tilbage.

du/dx betyder at u er differentieret med hensyn til x, ikke?
hvordan kan det være at u = x^3 bliver til

1/3du = x^2dx

Jeg differentirere x^3 og får 3 * x^2

Men hvorfor kan jeg gange med 1/3 foran du?

Brugbart svar (0)

Svar #13
21. februar 2019 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=3x^2$

$\small \tfrac{1}{3}\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=x^2$

$\small \tfrac{1}{3}\mathrm{d} u=x^2\mathrm{d} x$

Svar #14
21. februar 2019 af Kraes4

Men mathon, hvordan kan det være at ikke isolerer dx fuldstændigt.
Og hvordan bliver 3*x^2 til 1/3 når du dividerer med 3 på begge sider?

Må godt nok sige jeg er helt tabt med det her du/dx og hvad pointen er med det.

skal det forståes sådan at dx er den differentieret u.

Og så ganger man den differentierede på det man skal integrere og integrerer det med?

Brugbart svar (0)

Svar #15
21. februar 2019 af mathon

genlæs #13.

Svar #16
21. februar 2019 af Kraes4

Når jeg læser ser jeg at du/dx = 3x^2, det vil sige at u er differentieret med hensyn til x.
Herefter divider jeg med 3 på begge sider, men du væger istedet at gange med 1/3 på begge sider (hvorfor?)
Og så beholder du stadig x^2 sammen med dx, men de steder jeg har læst skal man isolerer dx så den står helt for sig selv?

Svar #17
21. februar 2019 af Kraes4

Okay tror jeg er ved at forstå det nu.

Man differenterer u, isolerer dx, og ganger dx på den funktion man vil integrere, for derefter at erstatte u med den funktion man tidligere differentierede!

Brugbart svar (0)

Svar #18
21. februar 2019 af oppenede

#17
Man differenterer u, isolerer dx, og ganger dx på den funktion man vil integrere

Når du har isoleret dx har du: 1/3 du = dx,

Derefter ganger du ikke noget.
Du bruger u = 3x+12 og 1/3du = dx til at substituere i det givne integral
∫ (3x + 12)⁸dx
som dermed bliver omskrevet til
∫ u/3 du

Svar #19
21. februar 2019 af Kraes4

Kan du så ikke forklare mig hvad det præcis er du og dx står for?

Svar #20
21. februar 2019 af Kraes4

står der ikke lige netop her at dt/dx = den aflede funktion ? så isoler man dt ud fra det, og når så enten dt eller dx sår efter funktionen betyder det vel at den bliver ganget på, eller hvordan?

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.