Matematik

Bestem afstanden fra P til beta

31. marts 2019 af Rk1733 - Niveau: A-niveau

Hej jeg sidder med en matematik opgave jeg ikke kan knække.

jeg skal finde afstanden mellem punktet P(4.5,4.5,3.5) og linjen på parameterform:([4.5][4.5][5.])+s*([1][0][0])+t*([3][3][1])

Jeg har haft meget lidt held med at finde en formel der kan bruges.

Hvis nogen ved hvordan man finder normalvektoren til samme parameterform kunne jeg også bruge hjælpe til det.


Brugbart svar (0)

Svar #1
31. marts 2019 af ringstedLC

Den "linje" ligner mere en plan. Vedhæft opgaven.


Svar #2
31. marts 2019 af Rk1733

Dette er opgaven

Vedhæftet fil:Udkcmmmlip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. marts 2019 af ringstedLC

\begin{align*} N &=(4.5,4.5,5.0) \\ \overrightarrow{n_{\beta}} &=\overrightarrow{r_{1,\, \beta}}\times \overrightarrow{r_{2\, \beta}} \\ \beta&: ax+by+cz+d=0\;,\;\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\overrightarrow{n_{\beta}} \\ d &= -\left (aN_x+bN_y+cN_z \right ) \\ dist(\beta,P) &= \frac{\left | aP_x+bP_y+cP_z+d \right |} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #4
31. marts 2019 af oppenede

Koordinaterne for vektoren mellem P(4.5,4.5,3.5) og et punkt Q på planet er: 
    PQ=Q-P= \begin{pmatrix} 4.5\\4.5\\5.0 \end{pmatrix}+ s\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix} 3\\3\\1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 4.5\\4.5\\3.5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s+3t\\3t\\1.5+t \end{pmatrix}

Længden af vektoren (dvs. afstanden fra P til punktet Q på planet) er
  \sqrt{(s+3t)^2+(3t)^2+(1.5+t)^2}

Den kortest mulige afstand opnås ved at lade s = -3t, da den første parentes dermed giver 0, og da s ikke indgår andre steder i udtrykket.
Tilbage står de to sidste parenteser, som når de ganges ud giver:
  \sqrt{(3t)^2+(1.5+t)^2}=\sqrt{2.25 + 3t + 10 t^2}

Toppunktet af andengradspolynomiumet under rodtegnet er t = -0.15, som er et minimum da grenene vender opad. Dvs. den korteste afstand til planet er \sqrt{2.25 + 3(-0.15) + 10 (-0.15)^2}\approx 1.423


Skriv et svar til: Bestem afstanden fra P til beta

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.