Matematik

Tangent til cirkel

11. maj 2019 af jlj95 - Niveau: B-niveau

Jeg har vedhæftet en opgave. Jeg har svært ved at se hvad jeg gør forkert. Jeg har en facitliste, hvor der står ligningen skal give 3x + 4y−11 = 0.

Men jeg får den til y=-0,75+0,249. Hvordan kan jeg vide, at den skal skrives på den form, som skrevet i facit? Nogle gange er facit på den ene form, og andre gange på den anden. Er der et eller andet jeg ikke er med på?

Vedhæftet fil: Udklip tangent til cirkel.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. maj 2019 af janhaa

2x +2yy' - 4 + 10y' = 0

y' = -0,75

slope a = -0,75

P=(5, -1)

y + 1 = -0,75(x-5)

y = -0,75x + 2,75

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E2%2By%5E2-4x%2B10y%2B4%3D0+and+y%3D-0.75x%2B2.75

Brugbart svar (1)

Svar #2
11. maj 2019 af janhaa

3x + 4y−11 = 0
er lik:
y = -0,75x + 2,75

Svar #3
11. maj 2019 af jlj95

Jeg er ikke helt med på din fremgangsmåde. Jeg kan se jeg har glemt at sætte x ind da jeg isolerede b. Det har jeg gjort nu, der giver ligningen y=-0,75x+0,267.

Men jeg er stadig ikke med på, hvordan jeg selv skal vide at jeg skal skrive den på den formen ax+by+c=0? (og hvordan jeg når der til)

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. maj 2019 af AMelev

#0 Du regner videre med en afrundingsfejl. Hvis du selv løser ligningen , ville du få -0.25 = b.
Hvad værre er - du har spist x i dit lineære udtryk y = -0.75x + b, der skulle have stået -1 = -0.75·5 + b

Efter at have beregnet c kunne du have brugt den officielle formelsamling s. 10 (45), så havde du nok undgået den fejl.

Svar #5
11. maj 2019 af jlj95

AMelev jeg har opdaget fejlet med x i den lineære, men jeg har stadig lidt svært ved at forstå det.

Ville det ikke være bedre at bruge s.10 (44) den med b=y₁-a*x₁? Eller hvordan ville jeg kunne bruge (45)

Og hvordan skal jeg kunne vide at det er meningen, at facit skal gives på formen ax+by+c=0?

Jeg har godt nok lidt svært ved at forstå det

Svar #6
11. maj 2019 af jlj95

i s.10 (45) ville jeg bare skulle indsætte mit punkt (5, -1) som x₁ og y₂ også isolere så den står på y=ax+b formen, ikke?

Der får jeg den til y=-0,75x-2,75, hvilket også stemmer overens hvis jeg bruger (44) - MEN jeg kan stadig ikke forstå det med, hvorfor jeg skulle vælge at omskrive til den anden form i facit?

Brugbart svar (1)

Svar #7
11. maj 2019 af mathon

$\textup{En tangent til cirklen:}$

$\small c\textup{:}\quad(x-2)^2+(y+5)^2=5^2$
$\textup{i punktet }P(5,-1)}$
$\textup{har ligningen:}$
$\small t\textup{:}\quad(5-2)(x-2)+(-1+5)(y+5)=25$

$\small t\textup{:}\quad3(x-2)+4(y+5)=25$

$\small t\textup{:}\quad3x+4y+14=25$

$\small t\textup{:}\quad3x+4y-11=0\Leftrightarrow y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{11}{4}$

Brugbart svar (1)

Svar #8
11. maj 2019 af mathon

Du bliver bedt om en ligning for tangenten i (5,-1), men ikke om ligningen på en bestemt form,
hvorfor dit resultat er OK!

Brugbart svar (1)

Svar #9
11. maj 2019 af ringstedLC

#6: Dit endelige resultat er ligeså rigtigt som facit (se #2). Ved brug af vektorregning:

$\begin{align*} \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{n_l}=\binom{5-2}{-1-(-5)}&=\binom{3}{4} \\ l:3x+4y+c&=0 \\ 3\cdot P_x+4\cdot P_y+c&=0\Rightarrow c &= -11 \\ l:3x+4y-11&=0 \\ \end{align*}$

Svar #10
11. maj 2019 af jlj95

Tak for hjælpen :)

Brugbart svar (1)

Svar #11
11. maj 2019 af mathon

eller:
   $\textup{Punktet P(5,-1) ligger p\aa \ \o vre halvcirkel}$
     $\textup{hvis ligning er:}$
   $y=-5+\sqrt{25-(x-2)^2}\qquad y=-5+\sqrt{25-(x-2)^2}$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{2\sqrt{25-(x-2)^2}}\cdot (-2(x-2))=\frac{-(x-2)}{\sqrt{25-(x-2)^2}}$

$\textup{Differentialkvotienten i (5,-1)}$
$\textup{er:}$
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{-(5-2)}{\sqrt{25-(5-2)^2}}=-\frac{3}{4}$

$\textup{tangentligningen i (5,-1)}$
$\textup{er:}$
$t\textup{:}\quad y=-\tfrac{3}{4}\cdot x+b$

$t\textup{:}\quad -1=-\tfrac{3}{4}\cdot5+b\Leftrightarrow b=\tfrac{11}{4}$

$t\textup{:}\quad y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{11}{4}$

Brugbart svar (1)

Svar #12
11. maj 2019 af AMelev

#6 Det er ligegyldigt, om du benytter (44) eller (45), bare du regner rigtigt.
(45): $y=-0.75\cdot (x-5)+(-1)=-0.75x+3.75-1=-0.75x{\color{Red} +}2.75$
Som det fremgår af #9, får man det resultat, der står i facit, hvis man benytter vektorregning (og den metode er lidt lettere), men I har ikke vektorregning, vel?
Dit svar er OK (hvis det ellers er rigtigt) - du skal kun benytte omregningen, hvis du vil tjekke med facitlisten.

Svar #13
11. maj 2019 af jlj95

Nej det har vi ikke. Men det giver mening nu, tak for hjælpen:)

Skriv et svar til: Tangent til cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.