Sammensatte funktioner

a) 

Jeg tænkte 

f(x) = √x

g(x) = x⁴+12x+9

f^'(g(x)) = 1/2√x⁴+12x+9 * 4x + 12 

f'(0) = 1/2√0⁴+12*0+9 * (4*0 +12) = 2  

Er det korrekt?

Næsten, (x⁴)' = 4x³, og så skriver du lige √(x⁴+12x+9) næste gang, men OK resultat.

Nej du differentirerer ikke korrekt. Du har

g'(x) = 4x³ + 12 (du mangler 3-tallet)

f'(x) = 1/2 ( 1 / √(x) ) 

f'(g(x)) = 1/2√(x⁴+12x+9) * (4x³ + 12)

f'(0) = 1/2√(0⁴+12*0+9) * (4*0³ +12) = 2

Sådan?

Hvad forklarer egentlig resultatet så for grafen f?

#5

f'(g(x)) = 1/2√(x⁴+12x+9) * (4x³ + 12)

f'(0) = 1/2√(0⁴+12*0+9) * (4*0³ +12) = 2

Sådan?

Nej, du skal stadig bruge udtrykket for f' som jeg skrev i #4. Derudover, så er notationen også dårlig. Du har sat f(x) = √x og g(x) = x⁴ + 12x + 9, så nu leder du ikke længere efter f'(0), men (f  º g)'(0)..

Hov..

f'(0) = 1 / 2√(0⁴+12*0+9) = 1/6

Hvad forklarer egentlig resultatet så for grafen f?

Hmmm.. okay. Det er ikke helt rigtigt. Det virker til at dobbeltbetydningen af f forvirre her.  Det udtryk jeg skrev op for f' var under forudsætning af at f var f(x) = √x. Det ville nok være mere tydeligt hvis vi lod f være som i opgaven og satte

Du har nu at f(x) = h(g(x)) og kan bruge at f'(x) = h' ( g(x) ) * g'(x) med

Dvs. du skal regne f ' (0) = h' ( g(0) ) * g'(0) = ....

#8

Hvad forklarer egentlig resultatet så for grafen f?

f ' af en x-værdi er hældningen på funktionen ved denne.

Ahh okay.. Det er fordi din notation er lidt forvirrende. Når du skrevet 1/2√(...) har jeg læst det som (1/2) * ( √(...) ).. Pånær det med den manglende exponent (3-tallet) i g' og og den dårlige notation omkring f, så ser det ud til at være rigtigt.

f'(0) siger noget om grafen er voksende eller aftagende.

f ' af en x-værdi er hældningen på funktionen "ved denne" 

Hvad menes der med "ved denne" ?

... ved denne x-værdi.

Er grafen så også voksende idet resultatet er positivt?

Tegn grafen, det viser bedre, hvordan funktionen forløber.