Matematik

Funktion 2 variable: Maximum og Minimum

19. november kl. 17:44 af Lapendio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle,

Jeg er ved at øve mig på matematik og har en funktion, hvor jeg skal finde maximum og minimum

f(x,y)=-3x^2-6y^2+x^3+y^3+5

I et set S defineret med ulighederne -2\leq x\leq 2 og -2\leq y\leq 2

Så står der

S = {(x,y) : x ≤ 2 and y ≤ 2} . Ved godt hvad det betyder men ved ikke hvordan jeg skal implementere det i mine udregninger.

Jeg får:

∂f/∂x = 0 ⇒ 3x2 - 6x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2

∂f/∂y = 0 ⇒ 3y2 - 12 = 0 ⇒ y = 0 v  y = 4

Så har jeg (x1,y1) = (0,0) og (x2,y2) = (2,4)

Også så skal jeg finde ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)≥ 0 (for maximum) men da får jeg

6x - 6 • (6y - 12) - (0)2 = 6x - 36y + 72 ≥ 0 også ved jeg ikke hvad gør. Er jeg på rette spor og en der kan hjælpe mig videre?


Brugbart svar (1)

Svar #1
19. november kl. 18:14 af peter lind

∂f/∂y = --12y+3y2 = 3y(-4+y)

Der er 4 muligheder  for at kombinerer de resultater for eks. (2; 0)


Svar #2
19. november kl. 18:23 af Lapendio

#1 Hej peter! Tak for svar

Hvad mener du med 4 muligheder? Det er fordi jeg bruger bare nulreglen til at finde x og y værdierne. Jeg kan ikke finde ud af at fortolke punkterne jeg har fundet frem til. Og så også at bruge ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)2 ≥ 0 , hvor jeg nu har prøvet at indsætte værdierne for (0,0) samt (2,4) hvor jeg får

72 ≥ 0 for (0,0) og -60 ≤ 0 for (2,4) men ved ikke hvad det betyder og hvad jeg finder.


Brugbart svar (1)

Svar #3
19. november kl. 18:35 af peter lind

Du har to løsninger for x koordinaten og 2 løsninger for y koordinaten. Det giver i alt 4 muligheder for kombinationer af x og y, hvor jeg har angivet en tredje mulighed i #1. Den fjerde mulighed er (0, 4)

Det har du jo selv skrevet i tredjesidste linje i #0


Svar #4
19. november kl. 18:40 af Lapendio

Nåå okay på den måde, ja okay så har jeg

(x1,y1) = (0,0) , (x2,y1) = (2,0) , (x2,y2) = (2,4) , (x1,y2) = (0,4)

og hvad gør jeg så. Hvordan karakteriserer jeg dem som maximum og minimum? 


Brugbart svar (0)

Svar #5
19. november kl. 19:06 af peter lind

du sætter dem ind i formlen på i tredjesidste linje i #0


Svar #6
19. november kl. 20:23 af Lapendio

#5

6 • 0 - 6 • (6 • 0 - 12) - (6 • 2 - 36 • 4 + 72) = ? er det rigtigt? Ved ikke lige helt hvilke x værdier og y værdier jeg skal indsætte hvor henne, da jeg har 4 kombinationer af koordinatsæt


Brugbart svar (1)

Svar #7
19. november kl. 20:32 af peter lind

Du skal tage hver enkelt kombination og sætte ind. Du skal altså lave 4 beregninger. Eksempel x=y=0


Svar #8
19. november kl. 22:09 af Lapendio

Hej igen peter,

Jeg har fundet konklusionen på problemet. se følgende udregninger

For (x1,y1) = (0,0)
6 • 0 - 6 • (6 • 0 - 12) - (0)2 = 72 ≥ 0 (saddle point)

For (x2,y1) = (2,0)
6 • 2 - 6 • (6 • 0 - 12) - 02 = 84 ≥ 0 (maximum)

For (x1,y2) = (0,4)
6 • 0 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 72 ≤ 0 (minimum point)

For (x2,y,2) = (2,4)
6 • 2 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 60 ≤ 0 (saddle point)

Er det korrekt forstået?


Svar #9
19. november kl. 22:49 af Lapendio

Jeg er ikke helt sikker på om det er rigtigt, fordi jeg ikke ved om det er i sættet S = {(x,y) : x ≤ 2 and y ≤ 2}, hvor både x og y skal være mindre end lig med 2. For punktet (x2,y2) = (2,4) er y > 2 så er det rigtigt gjort i #8 ?


Brugbart svar (0)

Svar #10
19. november kl. 23:12 af peter lind

Det er noget forvirrende det du skriver

er det større end null er der maksimum eller minimum, Maksimum hvis f'x og  f'y er negative minimum hvis de er positive

Saddelpunkt hvis det bliver negativt

hvis det er 0 kræver det yderligere undersøgelser

hvis det er 0 kr


Brugbart svar (0)

Svar #11
20. november kl. 06:24 af chyvak

Husk at maksimum og minimum også kan antages i randpunkter - det mangler du at gøre rede for.


Svar #12
20. november kl. 16:58 af Lapendio

Hej igen,

Jeg ved at f'x = 3x2 - 6x og f'y = 3y2 - 12y hvordan ved jeg det er negativt eller positivt ? Hvilke x- og y-værdier skal jeg indsætte i funktionerne?

Hvad bruger jeg følgende værdier til? Hvordan analyserer jeg om det er maximum, minimum eller saddle point?

For (x1,y1) = (0,0)
6 • 0 - 6 • (6 • 0 - 12) - (0)2 = 72 ≥ 0

For (x2,y1) = (2,0)
6 • 2 - 6 • (6 • 0 - 12) - 02 = 84 ≥ 0

For (x1,y2) = (0,4)
6 • 0 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 72 ≤ 0

For (x2,y,2) = (2,4)
6 • 2 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 60 ≤ 0


Svar #13
20. november kl. 17:18 af Lapendio

Ok jeg tror jeg har forstået nu bedre nu efter jeg nærlæste peter linds svar i #10. 

Jeg har nu at (0,0) er et maximum, fordi D= ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)2 > 0 og ∂2f/∂x2 (0,0) < 0 , 

og (2,0) er et minimum, fordi D > 0 og ∂2f/∂x2 > 0

også de to sidste punkter er saddle points, fordi D < 0 er det korrekt nu?


Brugbart svar (1)

Svar #14
20. november kl. 17:39 af peter lind

Du har

f'x=-6x+3x2  

f''xx  = -6

f'y = -12y+3y2

f''y = -12

f''xy = 0

f'xx(0,0)'f''yy(0,0) - f''xy(0,0)2 = -6(-12)-02 = 72 > 0    ikke ≥0

så er der lokalt maksimum i (0, 0)

Det  er ikke korrekt gentag med de andre 3


Brugbart svar (1)

Svar #15
20. november kl. 17:51 af peter lind

Hvis du har et værktøj der kan lave en graf for en funktion af 2 variable, så brug den for at få et overblik


Svar #16
20. november kl. 18:06 af Lapendio

Hej peter, for mig ligner det ellers at jeg har lavet korrekt. Se £13 hvor jeg skriver at (0,0) er et lokalt maximum hvor jeg også bruger samme fremgangsmåde som i #14, hvor jeg her skulle aflæse om enten f''xx < 0 eller
f''xx > 0 også bruge det til at analysere om punktet er et maximum eller minimum. Hvis D < 0 så er det et saddle point

#15 ja god idé


Brugbart svar (0)

Svar #17
20. november kl. 18:19 af peter lind

Gå de regnestykker igennem ud fra #20. Det er jo helt ved siden af


Svar #18
22. november kl. 21:06 af Lapendio

Hej peter, godaften

Jeg kan se du har regnet forkert i svar 14, da ∂2f/∂x2 = 6x - 6, ligesom at ∂2f/∂y2 = 6y - 12. Her bruger jeg så punkterne og substituerer værdierne i second-order partial derivative for f med respekt til x. Her får jeg at 
2f/∂x2 (0,0) = - 6 hvor den også er negativ hvis jeg indsætter punktværdierne i den med respekt til y,
så får jeg -12. Så er de begge negative, og da formlen D = ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)2 ≥ 0 holder, så er punktet (0,0) et maximum. På samme vis når jeg analyserer punktet (2,0) får jeg det til at være et minimum, er det korrekt? De to sidste punkter er saddle points, da D < 0. Henviser til https://www.maths.tcd.ie/~frolovs/Calculus/2E02_Partial_Derivatives_V.pdf side 4, har også studeret det derinde .


Brugbart svar (1)

Svar #19
22. november kl. 21:30 af peter lind

Det får jeg jo også så hvorfor siger du det er forkert ? Du skriver stadig ≥ 0, men kravet er at det skal være > 0. Du mangler at angive at f''xx og f''yy er mindre end 0, for at kunne slutte at der er maksimum

For (2, 0) får jeg -72 og det betyder at der hverken er maksimum eller minimum.

se formel 198-201 på side 34 i din formelsamling


Svar #20
22. november kl. 21:38 af Lapendio

Hej igen, ok retter det til > 0.

Jeg siger det er forkert fordi du skrev f'x=-6x+3x2 , f''xx  = -6. Men hvordan kan du få det til -72 for punktet (2,0)? Jeg får det til at give 84 > 0, så der er enten et minimum eller maximum for punktet (2,0). Jeg vil gerne spørge om både ∂2f/∂x2 > 0 samt ∂2f/∂y2 > 0 for at der er tale om et minimum, såfremt D > 0? I linket står der kun med respekt til x skal være større end 0 for at der er tale om et minimum. 


Forrige 1 2 Næste

Der er 35 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.