Matematik
Funktion 2 variable: Maximum og Minimum
Hej alle,
Jeg er ved at øve mig på matematik og har en funktion, hvor jeg skal finde maximum og minimum
I et set S defineret med ulighederne og
Så står der
S = {(x,y) : x ≤ 2 and y ≤ 2} . Ved godt hvad det betyder men ved ikke hvordan jeg skal implementere det i mine udregninger.
Jeg får:
∂f/∂x = 0 ⇒ 3x2 - 6x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 2
∂f/∂y = 0 ⇒ 3y2 - 12 = 0 ⇒ y = 0 v y = 4
Så har jeg (x1,y1) = (0,0) og (x2,y2) = (2,4)
Også så skal jeg finde ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)2 ≥ 0 (for maximum) men da får jeg
6x - 6 • (6y - 12) - (0)2 = 6x - 36y + 72 ≥ 0 også ved jeg ikke hvad gør. Er jeg på rette spor og en der kan hjælpe mig videre?
Svar #1
19. november 2019 af peter lind
∂f/∂y = --12y+3y2 = 3y(-4+y)
Der er 4 muligheder for at kombinerer de resultater for eks. (2; 0)
Svar #2
19. november 2019 af Lapendio
#1 Hej peter! Tak for svar
Hvad mener du med 4 muligheder? Det er fordi jeg bruger bare nulreglen til at finde x og y værdierne. Jeg kan ikke finde ud af at fortolke punkterne jeg har fundet frem til. Og så også at bruge ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)2 ≥ 0 , hvor jeg nu har prøvet at indsætte værdierne for (0,0) samt (2,4) hvor jeg får
72 ≥ 0 for (0,0) og -60 ≤ 0 for (2,4) men ved ikke hvad det betyder og hvad jeg finder.
Svar #3
19. november 2019 af peter lind
Du har to løsninger for x koordinaten og 2 løsninger for y koordinaten. Det giver i alt 4 muligheder for kombinationer af x og y, hvor jeg har angivet en tredje mulighed i #1. Den fjerde mulighed er (0, 4)
Det har du jo selv skrevet i tredjesidste linje i #0
Svar #4
19. november 2019 af Lapendio
Nåå okay på den måde, ja okay så har jeg
(x1,y1) = (0,0) , (x2,y1) = (2,0) , (x2,y2) = (2,4) , (x1,y2) = (0,4)
og hvad gør jeg så. Hvordan karakteriserer jeg dem som maximum og minimum?
Svar #6
19. november 2019 af Lapendio
#5
6 • 0 - 6 • (6 • 0 - 12) - (6 • 2 - 36 • 4 + 72) = ? er det rigtigt? Ved ikke lige helt hvilke x værdier og y værdier jeg skal indsætte hvor henne, da jeg har 4 kombinationer af koordinatsæt
Svar #7
19. november 2019 af peter lind
Du skal tage hver enkelt kombination og sætte ind. Du skal altså lave 4 beregninger. Eksempel x=y=0
Svar #8
19. november 2019 af Lapendio
Hej igen peter,
Jeg har fundet konklusionen på problemet. se følgende udregninger
For (x1,y1) = (0,0)
6 • 0 - 6 • (6 • 0 - 12) - (0)2 = 72 ≥ 0 (saddle point)
For (x2,y1) = (2,0)
6 • 2 - 6 • (6 • 0 - 12) - 02 = 84 ≥ 0 (maximum)
For (x1,y2) = (0,4)
6 • 0 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 72 ≤ 0 (minimum point)
For (x2,y,2) = (2,4)
6 • 2 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 60 ≤ 0 (saddle point)
Er det korrekt forstået?
Svar #9
19. november 2019 af Lapendio
Jeg er ikke helt sikker på om det er rigtigt, fordi jeg ikke ved om det er i sættet S = {(x,y) : x ≤ 2 and y ≤ 2}, hvor både x og y skal være mindre end lig med 2. For punktet (x2,y2) = (2,4) er y > 2 så er det rigtigt gjort i #8 ?
Svar #10
19. november 2019 af peter lind
Det er noget forvirrende det du skriver
er det større end null er der maksimum eller minimum, Maksimum hvis f'x og f'y er negative minimum hvis de er positive
Saddelpunkt hvis det bliver negativt
hvis det er 0 kræver det yderligere undersøgelser
hvis det er 0 kr
Svar #11
20. november 2019 af chyvak
Husk at maksimum og minimum også kan antages i randpunkter - det mangler du at gøre rede for.
Svar #12
20. november 2019 af Lapendio
Hej igen,
Jeg ved at f'x = 3x2 - 6x og f'y = 3y2 - 12y hvordan ved jeg det er negativt eller positivt ? Hvilke x- og y-værdier skal jeg indsætte i funktionerne?
Hvad bruger jeg følgende værdier til? Hvordan analyserer jeg om det er maximum, minimum eller saddle point?
For (x1,y1) = (0,0)
6 • 0 - 6 • (6 • 0 - 12) - (0)2 = 72 ≥ 0
For (x2,y1) = (2,0)
6 • 2 - 6 • (6 • 0 - 12) - 02 = 84 ≥ 0
For (x1,y2) = (0,4)
6 • 0 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 72 ≤ 0
For (x2,y,2) = (2,4)
6 • 2 - 6 • (6 • 4 - 12) - 02 = - 60 ≤ 0
Svar #13
20. november 2019 af Lapendio
Ok jeg tror jeg har forstået nu bedre nu efter jeg nærlæste peter linds svar i #10.
Jeg har nu at (0,0) er et maximum, fordi D= ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)2 > 0 og ∂2f/∂x2 (0,0) < 0 ,
og (2,0) er et minimum, fordi D > 0 og ∂2f/∂x2 > 0
også de to sidste punkter er saddle points, fordi D < 0 er det korrekt nu?
Svar #14
20. november 2019 af peter lind
Du har
f'x=-6x+3x2
f''xx = -6
f'y = -12y+3y2
f''y = -12
f''xy = 0
f'xx(0,0)'f''yy(0,0) - f''xy(0,0)2 = -6(-12)-02 = 72 > 0 ikke ≥0
så er der lokalt maksimum i (0, 0)
Det er ikke korrekt gentag med de andre 3
Svar #15
20. november 2019 af peter lind
Hvis du har et værktøj der kan lave en graf for en funktion af 2 variable, så brug den for at få et overblik
Svar #16
20. november 2019 af Lapendio
Hej peter, for mig ligner det ellers at jeg har lavet korrekt. Se £13 hvor jeg skriver at (0,0) er et lokalt maximum hvor jeg også bruger samme fremgangsmåde som i #14, hvor jeg her skulle aflæse om enten f''xx < 0 eller
f''xx > 0 også bruge det til at analysere om punktet er et maximum eller minimum. Hvis D < 0 så er det et saddle point
#15 ja god idé
Svar #17
20. november 2019 af peter lind
Gå de regnestykker igennem ud fra #20. Det er jo helt ved siden af
Svar #18
22. november 2019 af Lapendio
Hej peter, godaften
Jeg kan se du har regnet forkert i svar 14, da ∂2f/∂x2 = 6x - 6, ligesom at ∂2f/∂y2 = 6y - 12. Her bruger jeg så punkterne og substituerer værdierne i second-order partial derivative for f med respekt til x. Her får jeg at
∂2f/∂x2 (0,0) = - 6 hvor den også er negativ hvis jeg indsætter punktværdierne i den med respekt til y,
så får jeg -12. Så er de begge negative, og da formlen D = ∂2f/∂x2 • ∂2f/∂y2 - (∂2f/∂x∂y)2 ≥ 0 holder, så er punktet (0,0) et maximum. På samme vis når jeg analyserer punktet (2,0) får jeg det til at være et minimum, er det korrekt? De to sidste punkter er saddle points, da D < 0. Henviser til https://www.maths.tcd.ie/~frolovs/Calculus/2E02_Partial_Derivatives_V.pdf side 4, har også studeret det derinde .
Svar #19
22. november 2019 af peter lind
Det får jeg jo også så hvorfor siger du det er forkert ? Du skriver stadig ≥ 0, men kravet er at det skal være > 0. Du mangler at angive at f''xx og f''yy er mindre end 0, for at kunne slutte at der er maksimum
For (2, 0) får jeg -72 og det betyder at der hverken er maksimum eller minimum.
se formel 198-201 på side 34 i din formelsamling
Svar #20
22. november 2019 af Lapendio
Hej igen, ok retter det til > 0.
Jeg siger det er forkert fordi du skrev f'x=-6x+3x2 , f''xx = -6. Men hvordan kan du få det til -72 for punktet (2,0)? Jeg får det til at give 84 > 0, så der er enten et minimum eller maximum for punktet (2,0). Jeg vil gerne spørge om både ∂2f/∂x2 > 0 samt ∂2f/∂y2 > 0 for at der er tale om et minimum, såfremt D > 0? I linket står der kun med respekt til x skal være større end 0 for at der er tale om et minimum.