Gruppe, Ring, legeme og ordning

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)

https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)

#1

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)

https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)

Har været inde og læse på siderne, men synes stadig det er meget abstrakt og svært at forstå...

Det er meget svært at svare konkret på dit spørgsmål, da det jo ikke er til at vide hvad du ikke forstår. Grupper, ringe, legemer, moduler, algebraer m.m. er alle del af et kæmpe emneområde, der hedder abstrakt algebra. Så det er ikke så underligt, at du synes det er abstrakt. 

Jeg vil ikke gætte på hvad det er, du ikke forstår, så jeg vil kun kort ridse op, hvad det går ud på, startende med en gruppe:

Lad G betegne en mængde. Det er ligegyldigt hvad G er en mængde af. Forsyn nu G med en komposition, d.v.s. en binær operation som til ethvert ordnet par (a,b) hvor a og b er elementer i G, knytter et element *(a,b) også i G. Sædvanligvis kalder man *(a,b) for produktet af a og b og skriver a*b. Da a*b også ligger i G, siges G at være stabil (eller aflsuttet) med hensyn til kompositionen. Bemærk, at kompositionen * kan være hvad som helst - det behøver ikke være en multiplikation. Det er bare en operation der tager to elementer fra G og danner et nyt element i G. En sådan organiseret mængde (G,*) kaldes en gruppoide.

Indtil videre er intet forudsat om *. Således er f.eks. den associative regel a*(b*c) = (a*b)*c i regelen ikke opfyldt. Et eksempel på en gruppoide hvor den associative regel ikke gælder er (Z,-) hvor Z er de hele tal og - betyder subtraktion.

En gruppoide (G,*) og dens komposition * kaldes associativ hvis a*(b*c) = (a*b)*c for alle a,b,c i G og kaldes da også en semigruppe. Er * kommutativ kaldes (G,*) kommutativ. Eksempler på semigrupper er (N,+) og (N,.) hvor N er de naturlige tal, + sædvanlig addition og . sædvanlig multiplikation.

Hvis en semigruppe (G,*) indeholder et neutralt element, altså et element e for hvilken det for ethvert element a i G gælder at a*e = e*a = a, så kaldes (G,*) en monoide. En monoide indeholder netop et neutralt element. Hvis nemlig e1 og e2 begge er neutrale, så er e1 = e1*e2 = e2. Et eksempel på en monoide er (N,.).

Hvis det om en monoide (G,*) med neutralt element e gælder, at der til ethvert element a i G findes et inverst element a^-1 i G, således at a*a^-1 = a^-1*a = e, så kaldes (G,*) en gruppe. En Abelsk gruppe er det samme som en kommutativ gruppe. Eksempler på grupper er (Z,+), (Q,+) hvor Q er de rationale tal. (Q/{0}, .) er også en gruppe.

Er det på det niveau vi er?

Ringe og legemer er dobbeltorganiserede mængder med mere struktur. Det fører alt for vidt at gå videre til det uden at vide præcist hvad du efterspørger.

#3

Tusinde tak for forklaringen! Det er ca. det niveau vi er på, selvom jeg stadig synes det er lidt abstrakt. Forstår det dog en hel del bedre nu.

Ift. kompositionen * er det så den komposition man også ser som tegnet ⊕ eller ⊗ i nogen tilfælde? Har ihvertfald haft en del problemer det at forstå det symbol, men tænker det vil give god mening hvis det angiver det samme som kompositionen *.

Og Ja, det er egentlig en legemer og ringe jeg skal have helt styr på, men din gennemgang gav mig i den grad også lige styr på nogle flere ting. Men ift. ringe og legemer er det nok mere forskellen på de to, da jeg synes, at jeg finder flere forskellige forklaringer på dem, da de minder meget om hinanden.

Korrekt. Kompositionen kan angives med et vilkårligt symbol af den årsag at der ikke forudsættes andet om den, end at den tager elementer fra G og producerer elementer i G. Det eneste forvirrende er sikkert, at man er så vant til de sædvanlige regneoperationer som addition og multiplikation, at man kan have svært ved at forestille sig andre end dem.

Mht. ringe og legemer:

En dobbeltorganiseret mængde (R,+,*) kaldes en ring hviss (R,+) er en kommutativ (= abelsk) gruppe (se #3), ringens additive gruppe (hvis neutrale element kaldes nulelementet og betegnes 0) og * er associativ og distributiv over +. Igen skal bemærkes at + og * blot er symboler for kompositioner. Vi tænker på dem som ringens henholdsvise additive og multiplikative komposition, med det er bare betegnelser vi knytter til dem. De har ikke nødvendigvis noget med addition eller multiplikation i sædvanlig forstand at gøre. Betegnelsen 0 for det neutrale element i (R,+) afspejler også at vi tænker på + som værende af additiv karakter, jvf a + 0 = a. Bemærk også at der ikke forudsættes andet om (R,*) end at * er associativ, altså at (R,*) er en semigruppe.

En ring (R,+.*) siges at være kommutativ og have etelement (betegnes 1), hviss (R,*) henholdsvis er kommutativ og har et neutralt element. Bemærks også her betegnelsen 1 for det neutrale element i tråd med den generelle opfattelse af * som en form for multiplikation, jvf a*1 = a eller 1*a=a.

Nulreglen siges at gælde for (R,+,*) hviss intet produkt x*y er 0 (nulelementet) med mindre mindst een af faktorerne x, y er 0 (d.v.s. 0 er den eneste nuldivisor).

Eksempler på kommutative ringe med etelement hvori nulreglen gælder er (Z,+,.), (Q,+,.), (R,+,.) og (C,+,.) hvor R og C er henholdvis mængden af reelle og komplekse tal. Restklasseringen (Z_n, +_n, ._n) er en kommutativ ring med etelement - nulreglen gælder hviss n er et primtal.

Da ringe kan være ikke-kommutative siger man at venstreforkortningsreglen hhv. højreforkortningsreglen gælder, hviss det for vilkårlige elementer a, b og c (med a != 0) i R gælder a*b = a*c => b=c hhv . b*a = c*a => b=c. Hvis både højre- og venstreforkortningsreglen gælder, siger vi at forkortningsreglerne gælder i (R,+,*). Forkortningsreglerne gælder hviss nulreglen gælder. Bemærk specielt at forkortningsreglerne altid gælder i en gruppe, men altså ikke i en ring.

En kommutativ ring med etelement hvori nulreglen (og dermed forkortningsreglerne) gælder, kaldes også et integritetsområde. Standardeksemplet på det er (Z,+,.).

Et legeme er en ring med yderligere struktur. En ring (L,+,*) med etelement kaldes en divisionsring (eller skævlegeme) hviss (L/{0},*) er en gruppe og et legeme hviss (L/{0},*) er en kommutativ gruppe. I et legeme er altså både (L,+) og (L/{0},*) abelske grupper. I et legeme gælder derfor altid forkortningsreglerne og nulreglen. Mest kendte legemer er nok (Q,+,.), (R,+,.) og (C,+,.). Ovenfor nævnte restklassering (Z_n, +_n, ._n) hvor n er et primtal er et legeme. Et eksempel på en divisionsring, der ikke er et legeme er Quaternionerne. Ethvert endeligt integritetsområde er et legeme.

Den helt fundamentale forskel på en ring og et legeme er altså at i et legeme er (L/{0},*) en abelskgruppe medens det ikke nødvendigvis er tilfældet i en ring. Ethvert legeme er en ring, medens det omvendte ikke er tilfældet. 

Du er fra skolen sikkert så vant til stiltiende at arbejde med legement (R,+,.) at f.eks. nulreglen og forkortningsreglerne tages for givet, ligesom at alle elementer har både additive og multiplikative inverse. Men i en ring er det i almindelighed ikke tilfældet.

Vi har ikke engang kradset i overfladen, men det burde være tilstrækkeligt til at anskueliggøre forskellene.

Tak for dit svar igen! Jeg læser lige igennem det og ser om jeg kan forstå det.

Ift. forklaring på grupper, kommer du ind på betegnelsen gruppoide, og jeg har, efter at have googlet mig rundt og læst i de bøger jeg nu har, ikke haft kunne finde betegnelsen andre steder. Er det fra en lærerbog eller andet du har betegnelsen fra? Skal nemlig helst henvise til det et sted, hvis det er et 'nyt' begreb, da alt dette er ift. min SRP:)

Det er en standardbetegnelse, også på dansk. På engelsk kan du søge efter groupoid. Eller Gruppoide på tysk. Der findes næppe meget på dansk på nettet - det skulle da være hvis du er så heldig at finde nogle forelæsningsnoter.

yesyes, fik også lige søgt efter det på engelsk, hvor det kom frem.

Ift. betegnelsen dobbelt organiseret mængde, skal jeg lige være sikker på, at jeg har forstået betegnelsen korrekt. Er det mængder, hvor det ikke er til ethvert orndet talpar (a,b), at der er tilknyttet en mængde, men derimod en matrix (a,b,c,d)?

Nej, ingen af delene. En dobbeltorganiseret mængde betyder at det er en mængde forsynet med 2 (dobbelt) kompositioner. Hver komposition er binær, så tager 2 elementer framængden og giver et nyt. Så i en ring (R, +, *) er + binær ( +: R x R -> R) og * er binær (*: R x R -> R). De ordnede talpar,du omtaler, har du fået forkert i halsen. Kompositionerne er binære, og tager derfor et ordnet par af elementer (heller ikke tal i almindelighed) som input og giver et enkelt element som resultat. Der er ikke knyttet nogen mængde til disse elementpar - de kommer fra mængdeproduktet R x R - men det er måske det, du mener.

Men nu du nævner matricer, så er (M_nn, +, *) hvor M_nn er mængden af (n x n)-matricer, + matrixaddition og * matrixmultiplikation et eksempel på en ikke-kommutativ ring.

okay super, tænkte også at det nok var lidt galt det med matrixer, men det var den eneste direkte forklaring der kom om, når jeg søgte på dobbelt organiseret mængde. Men tusinde tak for forklaringen, så giver det hele en del mere mening!

Har forsøgt på egenvis at forklare hhv. gruppe, ring og legeme, og hvis du har tid må du meget gerne lige se det igennem.

Min forklaring er nok ikke helt så dybdegående som din, men jeg håber, at det er rigtigt og giver mening det jeg har skrevet.

Jeg har ikke haft tid til at gå det hele igennem, men her nogle kommentarer:

§1 G behøver ikke være en mængde af tal. Den kan som sagt være hvad som helst.

§2 (G,*) kaldes kun en semigruppe hvis * er associativ. Hvis * også er kommutativ kaldes (G,*) en kommutativ semigruppe. Er (G,*) kommutativ, men ikke associativ, kaldes den en kommutativ gruppoide. Endelig er det muligt at * hverken er kommutativ eller associativ. Så kompositionen * kan være kommutativ, associativ, begge eller ingen af delene. Et eksempel på det sidste er mængden G ={1,2} forsynet med kompositionen * givet ved 1*1 = 1, 1*2 = 1, 2*1 = 2, 2*2 = 1. Da er (G,*) en gruppoide, men 1*2 = 1 og 2*1 = 2, så G er ikke kommutativ og (2*1)*2 = 2*2 =1 men 2*(1*2) = 2*1 = 2 så G er heller ikke associativ. Et lidt spøjst eksempel på en kommutativ, ikke-associativ gruppoide kan dannes udfra håndspillet "papir", "saks", "sten". Hvis vi danner mængden G bestående af disse elementer og forsyner den med den komposition *, der afgør hvilket af to elementer der trumfer, så er * kommutativ, men ikke associativ. Der er en særlig årsag til at man benytter en særlig betegnelse - semigruppe - når kompositionen er associativ. Det er at uden associativitet kan et element i en gruppoide have mere end eet inverst element. Den associative regel udelukker det (i en gruppoide med neutralt element). Så det er faktisk kun fra en semigruppe og opefter at det giver mening at skrive a^-1 som _det_ inverse til elementet a.

§3 
Bemærk at en gruppoide også kan indeholde et neutralt element og hvis den gør er der også netop et. Det er ikke muligt som du skriver at derkan være to neutrale elementer i en mængde med en komposition.

§4
Igen talmængde versus generel mængde. Og derimod skal erstattes af "tillige". Det er jo ikke muligt at G er en gruppe hvis kompositionen ikke er associativ.

Derudover er der ikke sammenhæng mellem notationen brugt i brødteksten og i axiomerne. I teksten bruges f.eks. bolle om kompositionen, medens axiomerne ikke gør. Det er heller ikke nødvendigt at spalte axiomerne i en additions- og multiplikationskomposition. Een kan tjene som begge.

Tusinde tak fordi du læste, det er nogle gode og brugbare kommentarer!